как доказать что прямоугольник прямоугольный

Прямоугольник

Частным видом параллелограмма является прямоугольник.

Особое свойство прямоугольника

Доказательство

Доказать: AC = DB

Доказательство:

Теорема

Доказательство

Доказательство:

Рассмотрим ABD иACB:

Теорема

Доказательство

Доказательство:

Противолежащие углы параллелограмма равны, A = C = 90 0 и В = D = 90 0

Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Частным случаем прямоугольника является квадрат.

Свойства прямоугольника

1. Так как прямоугольник – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

Помимо этого:

2. Стороны прямоугольника являются его высотами.

3. Диагонали прямоугольника равны.

4. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних сторон.

5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

Признаки параллелограмма

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:

1. Диагонали параллелограмма равны.

2. Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов соседних сторон.

3. Все углы параллелограмма равны.

Площадь прямоугольника

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Прямоугольник — это одна из основ геометрии

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы расскажем об одной из основных геометрических фигур – ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ.

Название это весьма говорящее, и в нем скрыто официальное определение.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.

Впервые описание этой фигуры встречается еще в Древнем Египте. Но в те времена все геометрические правила давались как неопровержимые истины, не предоставляя доказательств.

Более правильный подход появился в Древней Греции. И естественно, автором стал самый знаменитый математик той эпохи — Евклид. А прямоугольник, как и многие другие фигуры и термины, был подробно описан в его произведении «Начала».

Прямоугольник — это.

Все тот же Евклид разделил все четырехугольники на два вида – параллелограммы (что это?) и трапеции (что это?).

У первых противоположные стороны равны и параллельны, а у вторых параллельна только одна пара сторон, и они при этом не равны.

То есть выглядит это так:

Так вот, прямоугольник в данном случае является частным случаем параллелограмма.

У этой фигуры противоположные стороны параллельны. Это первое условие по Евклиду. И к тому же они равны, что является условием номер два.

У прямоугольника есть и собственный частный случай. Когда равны не только противоположные стороны, а все. И как нетрудно догадаться, фигура эта называется квадрат.

Ну, и логично предположить, что квадрат (как и сам прямоугольник) является частным случаем параллелограмма.

Признаки прямоугольника

Признаки геометрической фигуры – это совокупность отличий, по которым ее можно выделить среди других.

В случае с прямоугольником их всего три:

Диагонали прямоугольника

Как мы уже упомянули выше, диагонали прямоугольника (отрезки, соединяющие его противоположные углы) равны между собой.

Доказать это можно с помощью известной теоремы Пифагора. Она гласит, что «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».

В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольных треугольника. И теорема Пифагора выглядит следующим образом:

Свойства прямоугольника

К свойствам прямоугольника относятся следующие утверждения:

Периметр и площадь

Для того чтобы определить периметр прямоугольника, надо просто сложить длины всех его четырех сторон.

Но с учетом того, что попарно они равны, то конечная формула может выглядеть более просто:

Площадь прямоугольника вычисляется также весьма просто. Надо лишь перемножить две его стороны:

К слову, это не единственная формула для вычисления площади. Площадь также можно получить, имея значение периметра фигуры или длину его диагонали. Но эти формулы гораздо сложнее.

Вот и все, что мы хотели рассказать о геометрической фигуре ПРЯМОУГОЛЬНИК. До новых встреч на страницах нашего блога.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (5)

Главная основа геометрии — это все же треугольник. Через него можно построить любую фигуру и доказать любую теорему.

Не согласен с утверждением, что раз один угол прямой, то перед нами точно прямоугольник, всё же прямоугольник — это когда все противоположные стороны параллельны друг другу, а если только один угол прямой, то там и трапеция может быть.

Я бы сказала, что прямоугольник — это основа архитектуры. Все здания так или иначе используют эту фигуру в своем дизайне.

Вот за что я люблю прямоугольники, так за то, что площадь его легко найти, да и периметр, вот с трапецией сложнее, увы, но те же земельные участки больше трапеции, отсюда и земельные споры.

Источник

Прямоугольник, свойства, признаки и формулы

Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник (понятие, определение):

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны между собой и все четыре угла равны между собой и каждый из них составляет 90 градусов.

Рис. 1. Прямоугольник

В свою очередь четырёхугольник (греч. τετραγωνον) – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.

Свойства прямоугольника:

1. Прямоугольник является параллелограммом – его противоположные стороны попарно параллельны.

Рис. 2. Прямоугольник

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

Рис. 3. Прямоугольник

3. Стороны прямоугольника являются его высотами.

4. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны.

Рис. 4. Прямоугольник

5. Каждый угол прямоугольника прямой и равен 90 градусам. Сумма всех углов прямоугольника составляет 360 градусов.

Рис. 5. Прямоугольник

6. Диагонали прямоугольника равны.

Рис. 6. Прямоугольник

Рис. 7. Прямоугольник

8. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (что вытекает из теоремы Пифагора).

Рис. 8. Прямоугольник

9. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

10. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.

АС и BD – диаметр описанной окружности и диагональ прямоугольника

11. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и является центром описанной окружности.

12. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если все его стороны равны, т.е. он является квадратом.

Признаки прямоугольника:

– если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником;

– если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон, то он (параллелограмм) является прямоугольником;

– если углы параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

Формулы прямоугольника:

Пусть a – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника, d – диагональ и диаметр описанной окружности прямоугольника, R – радиус описанной окружности прямоугольника, P – периметр прямоугольника, S – площадь прямоугольника.

Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника):

,

,

,

.

Формула диагонали прямоугольника:

,

Формулы периметра прямоугольника:

Формулы площади прямоугольника:

Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:

.

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Мировая экономика

Справочники

Востребованные технологии

Поиск технологий

О чём данный сайт?

Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.

Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.

Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!

Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.

О Второй индустриализации

Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.

Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.

Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.

Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.

Источник

Прямоугольник. Его свойства и признаки.

Приступаем к изучению разных видов параллелограмма.

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Поскольку прямоугольник – это параллелограмм, то он обладаем теми же свойствами, что и параллелограмм. Кроме того, у него есть ещё свои, особые свойства.

Рассмотрим эти свойства.

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО I ). У прямоугольника диагонали равны.

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО II ). У прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника.

по III признаку равенства треугольников. по определению прямоугольника. Значит, треугольники и – равные и прямоугольные, ч.т.д.

Итак, прямоугольник обладает следующими свойствами :

У прямоугольника противолежащие стороны и углы равны.

У прямоугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

У прямоугольника диагонали равны.

У прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Стороны прямоугольника являются его высотами.

Выясним теперь, по каким признакам можно утверждать, что геометрическая фигура является прямоугольником.

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК I ). Если у четырёхугольника три угла прямые, то такой четырёхугольник является прямоугольником.

2. по признаку параллельности прямых.

3. по признаку параллельности прямых.

5. Итак, – параллелограмм, у которого все углы прямые. По определению, такой параллелограмм является прямоугольником, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК II ). Если у параллелограмма диагонали равны, то такой параллелограмм является прямоугольником.

4. Итак, у параллелограмма все углы прямые, значит, он является прямоугольником (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК III ). Если у параллелограмма один угол прямой, то такой параллелограмм является прямоугольником.

2. и – внутренние односторонние при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, .

Периметр прямоугольника равен см, а одна из его сторон меньше другой на см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

В прямоугольнике перпендикуляры, проведённые из точки пересечения диагоналей к его сторонам, равны соответственно см и см. Найдите периметр прямоугольника.

Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки равной длины. Найдите периметр этого прямоугольника, если длина меньшей стороны прямоугольника равна см.

Периметр прямоугольника равен см. Найдите сумму расстояний от произвольной внутренней точки прямоугольника до его сторон.

по двум сторонам, имеющим общую вершину;

по стороне и диагонали;

по диагонали и углу между диагоналями;

по диагонали и сумме прилежащих сторон.

Периметр прямоугольника равен см. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них в раз больше другой.

Периметр прямоугольника равен см. Найдите его стороны, если одна из них на см меньше другой.

Одна из сторон прямоугольника на см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен см.

Дан прямоугольник – точка пересечения его диагоналей. Докажите, что и – равные равнобедренные треугольники.

Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен см.

Докажите, что отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей прямоугольника с серединой стороны, перпендикулярен этой стороне.

Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ делит прямоугольник, равен см.

Расстояния от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его сторон равны см и см. Найдите большую сторону данного прямоугольника.

Точка пересечения диагоналей прямоугольника отстоит от его сторон на расстояниях см и см. Найдите меньшую сторону данного прямоугольника.

Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его вершин равна см. Найдите диагональ данного прямоугольника.

Диагональ прямоугольника образует угол с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.

Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его сторон равна см. Найдите периметр данного прямоугольника.

В прямоугольнике – точка пересечения его диагоналей. Из точки к серединам сторон и проведены отрезки и соответственно. Найдите периметр прямоугольника.

Источник