какой парадокс существует в математике парадокс картофеля парадокс тыквы
Разгадка трех известных математических парадоксов
В прошлой статье я рассказал про три математических парадокса. Теперь же пришло время разобраться, как эти парадоксы разрешаются.
1. Парадокс маляра.
Кратко состоит в том, что бесконечный цилиндр можно окрасить конечным числом краски (почему конечным, читайте по ссылке в начале материала).
Так в чем же загвоздка? Ключевой момент: утверждая, что не можем покрасить плоскую фигуру (слева на рисунке), мы говорим о том, что мы хотели бы покрасить её слоем краски одной толщины.
Предлагаемый нами в прошлом материале способ окраски как раз исходит из предположения, что каждый следующий цилиндр будет окрашен всё меньшим слоем краски, так что бесконечная сумма объёмов краски, ушедших на каждый сегмент площадью в π см2, будет сходиться к конечному значению.
Кроме того, мы не учитываем, что толщина слоя краски не может быть меньше размера молекулы. Если заливать краску в такой цилиндр, то рано или поздно, когда линейные размеры ступеньки будут меньше размера молекулы краски, краска попросту «не пролезет» ниже. Тогда погруженную в такой сосуд пластинку покрасить полностью не получится. Но это уже в мире физики, в мире математике возможно всё.
№2. Парадокс сатанинской бутылки Стивенсона
Поразмышляем, за какую самую меньшую цену можно продать сатанинскую бутылку?
Во-первых, очевидно, что продать бутылку дешевле минимальной разменной монеты нельзя. Пусть минимальной монетой будет 1 цент. Получается, что купив её за 1 цент продать с убытком для себя ее будет невозможно.
Во-вторых, бутылку сложно продать и за 2 и за 3, и вообще за конечное число центов, ведь Ваш покупатель, осознавая последствия будет отказываться от такой сделки, рискуя не найти покупателя в дальнейшем.
В-третьих, если цена бутылки достаточно высока, вероятность продать ее есть. Впрочем, она уменьшается с каждой продажей и зависит от убытка с которой она была произведена.
В книге главный герой всеми силами пытается выбраться из «западни», но ответа на главный вопрос: «за какую минимальную цену можно продать бутылку» у него нет.
Таким образом, логически парадокс не разрешим.
3. Парадокс картофеля
Пусть имеется 100 кг картофеля, имеющего 99 процентов воды по массе. Картофель просушивают и получают 98% процентов воды. Какая теперь масса картофеля?
В первую очередь кажется, что масса картошки изменится совсем незначительно. Однако дальнейшие рассуждения показывают обратное.
Действительно, пусть в начале у нас 100 кг картошки, состоящих из 99 кг воды и 1 кг сухого остатка. Таким образом, соотношение вода/сухой остаток = 1/99. Теперь, если процент воды уменьшится до 98%, сухого вещества останется 2% от массы. Соотношение вода/сухой остаток = 1/49. Ключевой момент: масса сухого остатка как была равна 1 кг, так и остается. Таким образом в полученной смеси мы имеем 49 кг воды и 1 кг сухого остатка: в общей сложности 50 кг.
В мире математических парадоксов
Доброго времени суток, уважаемое хабрасообщество.
Сегодня я хотел бы затронуть такую увлекательную тему, как математические парадоксы. По данной теме на хабре уже было опубликовано несколько замечательных статей (1,2,3,4,5), но в математике интересные парадоксы этой выборкой далеко не исчерпываются.
Поэтому попробуем рассмотреть другие занимательные парадоксы (а некоторые и «не совсем» парадоксы), которые пока еще не получили здесь должного освещения.
Парадокс кучи и парадокс «Лысого»
Данные парадоксы известны еще с древности. Для начала сформулируем и рассмотрим парадокс кучи, связанного с неопределенностью понятия «куча»: 
«если к одному зерну добавлять по зёрнышку, то в какой момент образуется куча?»
или обратная формулировка:
«удаляя из кучи в 1 млн зёрен по одному зёрнышку, с какого момента она перестаёт быть кучей?»
Формулировка парадокса основана на очевидной предпосылке, согласно которой одно зёрнышко не образует кучи, и индуктивной предпосылке, по которой добавление одного зернышка к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. Из этих предпосылок следует, что никакая совокупность из сколь угодно большого количества зёрен не будет образовывать кучи, что противоречит представлению о существовании кучи из зёрен. Очевидно, что эти рассуждения приводят к неправильным выводам.
Однако до самого недавнего времени не было ясно, какие тогда рассуждения здесь использовать. Лишь с появлением теории нечетких множеств Лофти Заде и нечеткой логики стало ясно, что здесь уместны нечеткие расуждения, поскольку имеется в наличии классический объект нечеткой логики — неопределенное понятие «быть кучей». Данные объекты в нечеткой логике интерпретируются как имеющие неточное значение, характеризуемое некоторым нечётким множеством.
Согласно таким рассуждениям заключение на каждом шаге остается прежним, но принадлежность его правильности уменьшается с каждым шагом. Когда эта принадлежность падает меньше 50%, то более правильным становится противоположное заключение.
Аналогичные рассуждения можно применить и к парадоксу «Лысого»:
«Если волосы с головы выпадают по одному, с какого момента человек становится лысым?»
Парадокс лжеца
Если утверждение на картинке истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что оно — ложно; но если оно — ложно, тогда то, что оно утверждает, неверно; значит, неверно, что утверждение на картинке — ложно, и, значит, это утверждение истинно.
Парадокс лжеца демонстрирует расхождение разговорной речи с формальной логикой, вводя высказывание, которое одновременно и истинно и ложно. В рамках формальной логики данное утверждение не доказуемо и неопровержимо, поэтому решения данного парадокса не существует, но существуют различные варианты его устранения.
Для этого можно применить рассуждения используемые в предыдущем разделе, для этого положим, что утверждение истинно на 0,5, тогда оно и ложно на 0,5, то есть не всякую фразу можно назвать целиком ложной или целиком истинной — «в чем-то высказывание на картинке лжет, а в чем-то — говорит правду»
К такому же выводу можно придти с помощью тройственной логики. В ней есть три степени истинности: «истина», «ложь» и «неопределенно». Под «неопределенно» понимается промежуточное по смыслу значение между истиной и ложью. К данной степени истинности и относят парадокс лжеца.
Как уже говорилось это не решения парадокса лжеца, а всего лишь объяснения, почему данный парадокс возникает в классической двузначной логике высказываний. Они свидетельствует, что строгое деление всех высказываний на истинные и ложные в данном случае неприменимо, поскольку ведет к парадоксу.
В настоящее всемя многие придерживаются такой точки зрения, что данное высказывание вообще не является логическим утверждением, и применять к нему классические методы формальной логики бессмысленно.
Парадокс Тесея
Данный парадокс можно сформулировать следующим образом:
«Если все составные части исходного объекта были заменены, остаётся ли объект тем же объектом?»
Было предложено несколько решений этого парадокса. Согласно философской школе Аристотеля существует несколько описывающих объект причин: форма, материал и суть вещи (которая, по учению Аристотеля, является самой важной характеристикой). Исходя из этого корабль остался тем же, так как его суть не поменялась, лишь изменился износившийся материал.
В следующем решении предложили дать аргументу «тот же» количественную и качественную характеристику. В таком случае, после смены досок корабль Тесея окажется количественно тем же, а качественно — уже другим кораблём.
В последнее время для решения парадокса Тесея предложили использовать 4-х мерную интерпретацию, в которой 3-х мерный корабль имеет также протяженность в 4 измерении-времени. Получившийся 4-х мерный корабль на протяжении временного ряда количественно идентичен с собой. Но отдельные «временные срезы» качественно могут отличаться друг от друга.
Парадокс Абилина
Данный парадокс заключается в том, что группа людей может принять решение, противоречащее возможному выбору любого из членов группы из-за того, что каждый индивидуум считает, что его цели противоречат целям группы, а потому не возражает.
Парадокс был описан Джерри Харви в статье The Abilene Paradox and other Meditations on Management. Имя парадоксу дано по мотивам следующего анекдота, описанного в этой статье:
В один жаркий техасский вечер некая семья играла в домино на крыльце до тех пор, пока тесть не предложил съездить в Абилин отобедать. Жена сказала: «Звучит неплохо». Муж, несмотря на то, что поездка обещала быть долгой и жаркой, подумал, что надо бы подстроиться под других, и произнёс: «По-моему, неплохо; надеюсь, что и твоя мама не откажется». Тёща же ответила: «Конечно, поехали! Я не была в Абилине уже давно».
Дорога была жаркой, пыльной и долгой. Когда же они наконец приехали в кафетерий, еда оказалась невкусной. Спустя четыре часа они, измученные, вернулись домой.
Один из них произнёс неискренне: «Верно, неплохая была поездка?». Тёща на это сказала, что, на самом деле, она бы лучше осталась бы дома, но поехала, раз уж остальные трое были полны энтузиазма. Муж сказал: «Я был бы рад никуда не ездить, поехал лишь чтобы доставить остальным удовольствие». Жена произнесла: «А я поехала, рассчитывая на радость остальных. Надо было быть сумасшедшим, чтобы добровольно отправиться в эту поездку». Тесть ответил, что он предложил это лишь потому, что ему показалось, что остальным скучно.
И они сидели, ошеломлённые тем, что поехали в поездку, которой никто из них не хотел. Каждый из них предпочёл бы спокойно наслаждаться тем днём.
Данный парадокс легко объясняется различными социологическими науками, подтверждающими, что человек редко совершает поступки, противоречащие поступкам его группы. Думаю многие не раз сталкивались с данном парадоксом и в своей жизни.
Парадокс Симпсона и феномен Уилла Роджерса
Замечу, что данные парадоксы являются «кажущимися», то есть они могут возникнуть на интуитивном уровне, но если провести вычисления, то легко убедиться, что никакого парадокса не возникает.
Для иллюстрации парадокса Симпсона рассмотрим пример, описанный известным популяризатором математики Мартином Гарднером.
Пусть мы имеем четыре набора камней. Вероятность вытащить чёрный камень набора № 1 выше, чем из набора № 2. В свою очередь, вероятность вытащить чёрный камень из набора № 3 больше, чем из набора № 4. Объединим набор № 1 с набором № 3 (получим набор I), а набор № 2 — с набором № 4 (набор II). Интуитивно можно ожидать, что вероятность вытащить чёрный камень из набора I будет выше, чем из набора II. Однако, в общем случае такое утверждение неверно.
Пример, в котором выполняется парадокс Симпсона:
| Черные шары | Белые шары | Вероятность вытащить черный камень | |
|---|---|---|---|
| Набор №1 | 6 | 7 | 6/13 ≈ 0,4615 |
| Набор №2 | 4 | 5 | 4/9 ≈ 0,4444 |
| Набор №3 | 6 | 3 | 6/9 ≈ 0,6667 |
| Набор №4 | 9 | 5 | 9/14 ≈ 0,6429 |
Теперь смешаем наборы №1 и №3 — из которых черные камни можно вытащить с большей вероятностью и наборы №2 и №4 — из которых черные камни можно вытащить с меньшей вероятностью.
| Черные шары | Белые шары | Вероятность вытащить черный камень | |
|---|---|---|---|
| Набор I | 12 | 10 | 12/22 ≈ 0,5454 |
| Набор II | 13 | 10 | 13/23 ≈ 0,5652 |
Как мы видим из таблицы после смешивания вероятность вытащить черный камень из набора II стала выше чем из набора I.
Математически никакого парадокса тут нет, так как общая вероятность набора зависит от соотношения количества камней черного цвета и обоих цветов, в данном случае в 4 наборе было 9 черных камней, а в первом аж 7 белых, которые больше всего и повлияли на итоговый расклад.
Близок к парадоксу Симпсона и феномен Уилла Роджерса. По сути в них описывается одно и то же явление, но в других терминах.
Думаю многие не раз сталкивались с фразами подобные такой:
«Когда оки покинули Оклахому и переехали в Калифорнию, то повысили средний интеллект обоих штатов»
Эту фразу приписывают Уиллу Роджерсу, в честь чего феномен и получил свое название.
С точки зрения математики никакого парадокса тут тоже нет. Чтобы в этом убедиться достаточно рассмотреть два множества: первое — <1, 2>, а второе — <90,100>, если число 90 из второго множества перенести в первое, то среднее арифметическое элементов как первого множества так и второго повысится.
Исчезновение клетки
Широкий класс задач на перестановку фигур, обладающих признаками софизмов: изначально в их условие введена замаскированная ошибка. В какой-то мере данные задачи ближе к оптическим иллюзиям, чем к математике.
Для примера расмотрим одну подобную задачу: дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка.
Математически парадоксов и таинственного исчезновения площади тут нет. Визуально наблюдаемые треугольники, на самом деле таковымы не являются, гипотенузы в обоих псевдотреугольниках на самом деле являются ломаными линиями (в первом треугольнике она с изломом внутрь, а во втором — наружу). Если наложить треугольник друг на друга, то между их «гипотенузами» образуется параллелограмм, в котором и содержится «пропавшая» площадь.
Парадокс картофеля
Парадокс картофеля — пример математического расчёта, результат которого противоречит интуиции. Этот парадокс предполагает высушивание картофеля на незначительную на первый взгляд величину, однако вычисляемое изменение массы оказывается больше интуитивно ожидаемого.
Парадокс формулируется таким образом:
«Имеется 100 кг картофеля, имеющего 99 процентов воды по массе. Картофель высушивается до значения 98 процентов воды. Какова теперь масса картофеля?»
В классификации парадоксов Куайна парадокс картофеля относится к «достоверным».
Одно из объяснений начинает с того, что изначально масса сухого вещества составляет 1 кг, что составляет 1 % от 100 кг. Затем задаётся вопрос: 1 кг — это 2 % от скольких кг? Для того, чтобы эта доля стала в два раза больше, общая масса должен быть вдвое больше.
100 кг картофеля, 99 % воды (по массе), означает 99 кг воды и 1 кг сухого остатка. Это соотношение 1:99.
Если количество воды уменьшится до 98 %, сухое вещество составляет 2 % от массы. Соотношение 2:98 уменьшается до 1:49. Поскольку сухое вещество по-прежнему весит 1 кг, вода должна весить 49 кг, что даёт в ответе суммарную массу 50 кг.
Ответ сохраняется при любом удваивании доли сухого вещества. Например, если картофель изначально содержит 99,999 % воды, снижение процента до 99,998 % по-прежнему требует уменьшения массы вдвое.
Визуализация парадокса картофеля: синие квадратики представляют 99 частей воды, а оранжевый — 1 часть сухого вещества (левый рисунок). Чтобы довести соотношение сухого вещества и воды до 1:49, количество воды уменьшается до 49, чтобы сохранить одинаковое количество сухой части (средний рисунок). Это эквивалентно удвоению концентрации сухой части (рисунок справа)
У Васи есть 2 кг картофана и 198 литров воды.
Вася закидывает всё в цистерну.
-Вася, а что у тебя в цистерне?
-99% воды и 1% картофана.
-А можно я у тебя воды вычерпаю немого, чтобы уменьшить соотношение до 98% воды и 2% картофана?
— Эээ, нет, брат. Чтобы картофана стало не 1%, а 2%, т.е. чтобы его доля увеличилась в 2 раза за счёт уменьшения доли воды, надо уменьшить долю воды в 2 раза, да ещё и вычесть половину массы картофана!
Ты решил у меня спереть 100 литров воды, но меня не проведёшь!
Хорошая попытка, уважаемая продавщица овощного отдела, но пройдёмте, всё-таки, к контрольным весам.
Я понял одно- картошку сушить нельзя.
50 кілаграмау таму што другія 50 беларус з‘ядае сам
Долгие века люди бились над этим парадоксом, пока не пошли в 5 класс средней школы. Там марьванна научила их простым пропорциям и уравнениям с 1 неизвестным. 100-99, х-98.
раньше кило крахмала (иличотам) это было 1%, т.е. 1/100 массы. всего 100 кг.
теперь тот же кило крахмала составляет 2%, т.е. 1/50 массы. раз так, то теперь всего 50 кг.
так что не, не парадокс.
хуйня это, а не парадокс
«Конечно, внимательный читатель сразу обнаружит грубейшую математическую ошибку в расчётах — мнимый шуточный «парадокс мешка картофеля» можно считать отличным примером того, как с помощью на первый взгляд «логичных» и «научно подкреплённых» рассуждений можно буквально на пустом месте выстроить теорию, противоречащую здравому смыслу.»
что бы проще понять что это бред, спроктируйте на себя задачу
«в сусahuhe88 110 кг весу, из них 50% это жир и 50% алкоголя прочих органов и веществ, cycahuh88 пошел в спорт зал и высушил жир до 49% своей туши, что, cycahuh стал весить 55 кг?»
вот вам ещё один «парадокс»
Сапожник сделал сапоги и сказал подмастерью продать их за 25 рублей. К подмастерью на рынке подошло двое инвалидов (у одного нет левой ноги, у другого – правой), и он продал им по сапогу за 12,50 соотвественно. Возвращается, отдает деньги сапожнику и рассказывает, как удачно продал… А сапожник отвечает: «ну что ж ты, инвалидам надо было сделать скидку. Держи 5 рублей, разыщи их и верни по 2,50». А подмастерье решил отдать инвалидам только по рублю, а остальные три рубля пропил. Нашел инвалидов и отдал каждому по рублю.
Вышло, что сапоги обошлись инвалидам по 11,50. 11,50+11,50 = 23 и еще 3 рубля пропиты. Итого: 26 рублей, а было 25. Откуда лишний рубль?
Подмена понятий, а не парадокс.
Этот класс «задач» я называю тупым наебаловом. Почему тупым наебаловом? Потому что оно подразумевает математическое решение, т.е. логика+вычисления, но при этом изначально содержит наебалово в виде неточности при постановке условия, что для математической задачи не приемлемо. При чем здесь «вычисление», если изначально в условии содержание воды это физическая величина в составе картофеля, а потом идёт подмена и разделение на сухой остаток (картофель) и воду? Задача это то что решается путём математических вычислений на основе представленных данных, а это называется ЗАГАДКА, потому что изначально имеет подъёб в условии.
Ммм. А с мясом и колбасой в магазинах кажется так и делают.
хуйня это, а не парадокс.
берем картошку, три штуки.
получаем из 3-х картофелин весом 700 грамм 100 грамм чипсов.
нихуя чипсов 700 грамм не получица. можно долить 2Х0,33 пива, конечно, пережевать и смешать, но один хрен, масса переваренного пива с чипсами будет меньше. и высссаного. вот.
Сокращая таким образом вы всего лишь берёте и упрощаете математическое соотношение сухой массы и воды, а не уменьшаете массу. Просто теперь в каждой доле в два раза больше содержится вот и все. Пример, элементарный: если у меня пятьдесят половинок картошки, мне легче считать их как двадцать пять картофелин, при этом масса не уменьшается, просто единица измерения меняется, никакого парадокса нет.
Это не парадокс, а словоблудие, ответ неправильный. Автора в начальную школу.
Нам на собеседованиях одно время эту задачку давали
Я вас понял, товарищ завскладом. Картошка наполовину веса просто высохла
На элеваторах так считают усушку зерна. Считают по формуле Дюваля.
Какие к черту способы решения данного парадокса (не парадокс вовсе). Просто напишите 2 формулы:
Нихуя не понял, но очень интересно!
«Для того, чтобы эта доля стала в два раза больше, общая масса должен быть вдвое больше«. Что? Общая масса должна стать вдвое меньше, что, собственно, и произошло! Объяснение в итоге еще больше запутывает.
Было: ж1/(c+ж1)=0.99;
Cтало: ж2/(c+ж2)=0.98;
с=1кг, ж1=99кг (по условию);
ж2=0.98c+0.98ж2;
0.02ж2=0.98с;
ж2=(0.98/0.02)с=49кг.
m2=49кг+с=49кг+1кг=50кг.
Просто с уменьшением массы воды уменьшается общая масса, из-за этого отношение жидкости к общей массе изменяется «медленно».
Например, вот какое содержание воды станет, если испарить 1кг жидкости (останется 1кг чистого вещества и 98 кг воды):
1/(98+1)=1/99=0.0101. =1.01%, то есть, соотношение изменится всего-лишь на сотую процента.
Ради этого стоит открыть учебник математики
Да это же «парадокс гуманитария».
Я голову уже сломал. Казалось бы отними 1% и останется 99кг.. А оказывается вон оно что.
Это не парадокс, а бред. Или открыватель парадокса договорился с картофелем, что половина уйдет жить в подвал?
100 кг. 1/99 сух.в/воду
Пример дурной математики.
В какой картошке столько воды?
Кущевская ОПГ
Кущевская резня, Ростов, 11 лет прошло и все по кругу, просто нет комментариев, предлагаю поднять резонанс, что бы такой беспредел не замолчали.
Бесплатное кино
Буквально сегодня столкнулся с ситуацией, которую не хотел бы видеть. Еду в электричке на ночную смену. Фрязинское направление, первый вагон, время около 21:30. Все едут по своим делам, залипают в телефонах. Вот он появляется. Главный подмосковный жених.
Какой парадокс существует в математике парадокс картофеля парадокс тыквы
Всё мы знаем это непреклонное правило которое работает везде и всегда. Каждый школьник, каждый ребенок и взрослый вам скажет «Делить на ноль нельзя». Ложь! На ноль делить можно, ведь любой может взять, и попробовать это сделать, вопрос лишь в том, какой выйдет результат?
Возьмём пример: «3-1». Если Ви попросите объяснить это выражение окружающих вас людей, вам скажут: «от трёх бабочек отнимите, или уберите одну» и будет вам счастье. Но математики смотрят на пример совсем по-другому.
Можно сказать, что «3-1», это сокращённая запись «x + 1 = 3», и нет тут вычитания. Есть задача найти подходящее число.
Точно также дела обстоят с делением и умножением. Опять же, простой пример: «10/5». Это не деление, а сокращённая форма уравнения «x * 5 = 10». Тут то и может стать понятна причина того, почему делить на ноль не то чтобы нельзя, а просто невозможно.
И снова делаем уже знакомый нам алгоритм, только с цифрами «7/0». Мы знаем, что выражение является сокращением от «x * 0 = 5», аналогично первому примеру.
А значит у задачи «7/0» просто нет решения! Запись ничего не обозначает, а значит и не имеет смысла. И эту бессмысленность выражают, когда кратко говорят «На ноль делить нельзя».
Если подходит любое число, то где нам остановится? То есть мы не можем точно сказать какому числу равняется запись «0/0». И если это так, то пример тоже не имеет смысла. Получается на ноль делить нельзя даже ноль.
Но всё же бывают случаи в задачах, когда в выражении «x * 0 = 0», вместо «x» можно отдать предпочтение какому-нибудь одному числу. Эти моменты называют «Раскрытием неопределенности». Но как-бы вы не старались, в арифметике таких случаев не встречается.
Ответ на пост «Логические и научные парадоксы, не утерявшие своей актуальности»
Стоило бы рядом с парадоксами давать и объяснения.
Начнём с того, что почти любое явление, называемое в народе парадоксом, либо содержит ошибку в постановке задачи, либо возможно только при некорректном рассмотрении, либо просто является открытой научной проблемой и не имеет на данный момент единого объяснения не из-за неразрешимого внутреннего противоречия, а просто из-за недостатка данных. Так-то все явления квантовой физики представлялись бы одним сплошным парадоксом для современников Ньютона.
В принципе, добавить особо нечего. Парадокс разрешён давно: некорректно рассматривать сосуд как замкнутую систему, если к работе дополнительно привлечён демон. Если в качестве замкнутой системы рассмотреть уже сосуд и демона вместе, то окажется, что энтропия всё же увеличивается.
3. Проблема двух конвертов.
Я скопирую из него только основной вывод:
Парадокс двух конвертов возникает по двум причинам. Во-первых проводится некорректное вычисление условного среднего дохода при выборе закрытого конверта. Во-вторых это вычисление делается без конкретизации условий задачи, с неверной посылкой о том, что незнание этих условий соответствует равновероятности всех исходов.
4. Мальчик или девочка?
Объяснение простое, но не очень красивое.
В задаче противопоставляется статистический и естественный подход, в то время как в реальности мы либо совершаем случайный эксперимент, либо исследуем уже готовую выборку. И если в первом случае вероятности совпадают с «натуральными», то во втором случае всё зависит от формулировки.
Так что вся парадоксальность заключается только в возможном запутывании с помощью формулировки.
5. Дилемма крокодила.
Широко известный класс самоссылающихся выражений вида «данное высказывание ложно». Являются парадоксами, если пытаться рассматривать с точки зрения логики высказываний, однако ограничены семантикой языка. Решаются, как и парадокс Рассела (о множествах, включающих в качестве элемента самих себя), построением более строгой системы. В случае парадокса Рассела это дополнение к теории множеств, в случае крокодила, Сократа и всего подобного это дополнение к логике, отделяющее язык логики от языка высказывания.
Пожалуй, это единственный настоящий парадокс из подборки, поскольку для его разрешимости требуется расширение законченной теории.
6. Парадокс слабого молодого солнца.
Это вообще не парадокс, а открытая научная проблема. Парадоксальным может быть утверждение, которое сохраняет внутреннее противоречие, несмотря на объём наших знаний о предмете. Здесь же решение простое: мы выясним больше о прошлом Солнечной системы и сопоставим данные.
7. Парадокс Гемпеля.
Конечно, утверждения эквивалентны с точки зрения логики. Но слово «доказательство» применительно к эмпирическому опыту выглядит неуместно, поскольку ссылается на математическое доказательство, коим не является. Лучше было бы говорить «подтверждение» или «пример». И отсутствие у человека информации об этом опыте как о примере, подтверждающем черноту воронов, вызвано незначительностью этого самого единичного опыта. Зелёное яблоко ведь действительно не является доказательством черноты воронов, а лишь примером.
Если изобразить происходящее, то получится, что множество воронов вложено в множество чёрных объектов. Но за пределами этих множеств находится во много раз больше объектов, чем внутри, поэтому значимость наблюдения какого-то одного объекта извне (зелёного яблока или красного коня) даёт просто ничтожное количество информации о воронах по сравнению с наблюдением непосредственно чёрного ворона. Так что в принципе логично, что человек не воспринимает информацию, полученную эмпирически через отрицание, ведь её слишком мало для подтверждения/опровержения стереотипа. Также играет роль отсутствие новизны и актуальности у информации о воронах.
Возможно, если бы стереотип был важнее, то и информация таким образом усваивалась бы лучше. Например, человек оказался на другой планете со множеством неизвестных форм жизни, и при этом какие-то твари постоянно пытаются его сожрать. Если у человека есть только предположение, что эти твари чёрного цвета, то он будет воспринимать любые не чёрные и не пытающиеся его сожрать формы жизни как подтверждение своей теории.