Сумма целочисленное значение что это такое в телеграмме значит
Что значит тотал 1 в футболе
Тотал больше 1 в футболе значит, что за всю игру или на отдельном ее промежутке будет забито не менее двух голов. Для противоположного исхода букмекеры предлагают ставку «меньше 1», предполагающую ничью с нулевым счетом.
Что такое тотал 1
Понятие total в рамках букмекерских контор означает верхнюю или нижнюю границу диапазона статистического параметра. В футболе ставка определяет количество:
Европейский и азиатский тотал
Европейский тотал больше 1 в футболе значит, что обе команды забьют в ворота более 2 мячей. Варианты ставки:
В основной линии букмекеры предлагают прогнозы, кратные 0,5. ТБ(1) присутствует среди дополнительных пари, равно как и азиатский вид тотала. Подразумевает кратность 0,75 и делит купон на 1-2 условные ставки:
Тотал больше 1
В футболе тотал 1 Б значит то же, что и ТБ(1) — букмекеры могут использовать разные обозначения, но суть не меняется. При выборе ставки беттер прогнозирует, что будет забито минимум 2 гола. Купон можно оформить как для всего матча, так и на отдельный тайм.
Пример тотал больше 1 из реального матча
В июле 2017 года ожидалась результативная футбольная игра «Спартака» и «Динамо». Команды давно соперничают друг с другом, их очные встречи часто заканчиваются с суммой счета более 2 очков.
Ставить в prematch невыгодно, средняя котировка по БК не превышала 1,2. Но на первых минутах трансляции коэффициент поднялся до 1,41: была сделана ставка 1000 руб. на ТБ(1). Игра закончилась со счетом 2:2. Выигрыш составил 1000×1,41=1410 руб.
Возможные расклады при ТБ 1 в матче
У прогноза на тотал больше 1 существует 3 варианта исхода:
Тотал меньше 1
Вариант «меньше» противоположен ТБ: ставка на тотал 1 М в футболе значит, что матч завершат с нулевым счетом. Выигрыш гарантирует «сухая» ничья, ее предугадать на порядок сложнее. ТМ используют преимущественно в live или для индивидуальных ставок на конкретные команды.
Пример тотал меньше 1 из реального матча
Рассмотрим противостояние «Кардифф Сити» и «Саутгемптон» в рамках Английской Премьер-лиги. В прематче БК предлагали ТМ(1) с коэф. 1,75 для первого тайма. Допустим, условный игрок поставил на него 1000 руб.
До перерыва соперники держали счет 0:0, а во второй половине Каллум Патерсон забил гол. Результат встречи — 1:0. Если бы беттер заключил общее пари, то вместо выигрыша получил возврат. Но ставка была на 1-й тайм, поэтому прошла. Чистая прибыль составила 1000×1,75-1000=750 руб.
Возможные расклады при ТМ 1 в матче
Как и в случае со ставкой на ТБ(1), у тотала меньше 1 есть подстраховка с возвратом средств при счете 0:1 или 1:0. Выигрыш возможен только при одном исходе — 0:0. Остальные варианты счета ведут к проигрышу и потере денег.
Что такое индивидуальный тотал
Индивидуальный тотал 1 в футболе относят к статистическим показателям команды или спортсмена. Если при общем ТБ/ТМ ставку делают на исход матча, то здесь подразумевают личный результат. Сторона/игрок должны набрать больше или меньше одного:
Больше 1
В футболе индивидуальный тотал больше 1 значит, что отдельный соперник забьет не менее 2 голов. Такую ставку предпочтительно делать на забивные команды.
Для ИТБ(1) важна высокая результативность:
Меньше 1
Индивидуальный тотал меньше 1 в футболе обозначает, что конкретная сторона не сможет забить гол. Это альтернатива прогнозу на точный счет, выигрывающая при 2 вариантах исхода:
Ставка ИТМ(1) подходит для команд с низкой забиваемостью.
Индивидуальный тотал меньше 1 в футболе
При выборе учитывают несколько критериев:
Как тотал играет в рамках экспресса
Возврат по событию не приводит к проигрышу, из-за чего тоталы со значением 1 часто добавляют в экспрессы. В беттинге существует стратегия, где игрок отбирает по 3-5 потенциально результативных матчей. Такой подход актуален для ТБ/ТМ с низкими котировками: объединение повышает общий коэффициент.
Пример такого экспресса:
По отдельности прогнозы малоприбыльны, но вместе проходят по коэф. 2,06. При ставке 100 руб. и успешном проходе 3 пари беттер получит 100×2,06=206 руб. Если же допустить, что первый тотал даст возврат, то его исключают: при выигрыше коэф. рассчитают по оставшимся: 1,15×1,22=1,4.
Когда делать ставку на тотал больше и меньше
Стандартное значение для ТБ/ТМ в основной линии букмекера равно 2,5. Для заключения пари на тотал больше/меньше 1 в футболе необходимо перейти в раздел дополнительных ставок.
Пари на тотал больше/меньше 1 в футболе
Иногда они отсутствуют в росписи по причинам:
Преимущества и недостатки пари на ТМ и ТБ 1
Основной плюс целочисленного тотала заключен в возврате средств. Если за матч забьют только 1 гол, вместо проигрыша ставку рассчитают с коэффициентом 1,0.
К недостаткам ставок на ТБ/ТМ относят относительно невысокую прибыльность. Нужно собирать события в экспрессы либо переходить на live. Иначе заработать на тоталах вряд ли выйдет.
Преимущества и недостатки пари на ТМ и ТБ 1
Как сделать ставку на футбол ТБ 1
Тотал больше 1 используют при стратегии с определением гола в первом тайме. Букмекеры предлагают ТБ(0,5), но из-за страховки предпочтительнее брать целочисленное значение. При отборе матчей выделяют Лиги:
Заключать пари лучше всего в live: просмотр трансляции позволяет оценить физическую форму соперников. Обычно уже на 10-15-й минуте общий настрой команд становится более или менее очевиден. Если спортсмены активно идут в атаку, то в прогнозе однозначно есть смысл.
Как сделать ставку на футбол ТМ 1
Из-за низкой проходимости тотал меньше 1 берут редко. Хотя некоторые беттеры практикуют стратегию Далласа, основанную на этом виде ставки:
Прогнозы делают в live. Купон оформляют, если к 10-20-й минуте андердог играет без агрессивной атаки. Автор тактики советует избегать пари, когда коэффициент на фаворита превышает 1,6.
Мы составили ТОП 10 капперов! Если вам нужен честный прогнозист с реальной статистикой, советуем перейти в раздел «проверенные капперы» и выбрать себе лучшего каппера!
Целое (тип данных)
Содержание
Представление
В памяти типовой компьютерной системы целое число представлено в виде цепочки битов фиксированного (кратного 8) размера. Эта последовательность нолей и единиц — ни что иное, как двоичная запись числа, поскольку обычно для представления чисел в современной компьютерной технике используется позиционный двоичный код. Диапазон целых чисел, как правило, определяется количеством байтов в памяти компьютера, отводимых под одну переменную.
Для 64-разрядных операционных систем учитывая разность моделей данных (LP64, LLP64, ILP64), представление целого типа на разных моделях данных может отличаться между собой. Тип int и long может составлять как 4 так и 8 байт.
Стоит отметить, что каждый язык программирования реализует свою сигнатуру представления целых чисел, которая может отличатся от международных стандартов, но обязана его/их поддерживать. К примеру можно отнести кросс-платформенную библиотеку Qt, где целое представляется типом qintX и quintX, где X-8,16,32,64.
Целые типы подразделяются на беззнаковые (англ. unsigned ) и знаковые (англ. signed ).
Беззнаковые целые
В C и C++ для обозначения беззнаковых типов используется префикс unsigned. В C# в качестве показателя беззнаковости используется префикс u (англ. unsigned). Например, для объявления беззнакового целого, равного по размеру одному машинному слову используется тип uint.
Беззнаковые целые, в частности, используются для адресации памяти, представления символов.
Иногда в литературе [1] встречаются рекомендации не использовать тип беззнаковые целые, поскольку он может быть не реализован процессором компьютера, однако вряд ли этот совет следует считать актуальным — большинство современных процессоров (в том числе x86-совместимые [2] ) одинаково хорошо работают как со знаковыми, так и с беззнаковыми целыми.
В некоторых языках, например java, беззнаковые целые типы (за исключением символьного) отсутствуют. [3]
Целые со знаком
Предельные значения для разных битностей
Ниже представлена таблица предельных значений десятичных чисел для разных битностей при кодировании дополнительным кодом. Не зависимо от битности у целых без знака минимальным значением всегда является 0 и поэтому оно не упомянуто. Справа от значения указано количество значащих цифр.
| Бит | Максимальное без знака | Минимальное со знаком | Максимальное со знаком | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Значение | Цифр | Значение | Цифр | Значение | Цифр | |
| 4 | 15 | 2 | -8 | 1 | 7 | 1 |
| 8 | 255 | 3 | -128 | 3 | 127 | 3 |
| 16 | 65 535 | 5 | -32 768 | 5 | 32 767 | 5 |
| 24 | 16 777 215 | 8 | -8 388 608 | 7 | 8 388 607 | 7 |
| 32 | 4 294 967 295 | 10 | -2 147 483 648 | 10 | 2 147 483 647 | 10 |
| 48 | 281 474 976 710 655 | 15 | -140 737 488 355 328 | 15 | 140 737 488 355 327 | 15 |
| 64 | 18 446 744 073 709 551 615 | 20 | -9 223 372 036 854 775 808 | 19 | 9 223 372 036 854 775 807 | 19 |
| 96 | 79 228 162 514 264 337 593 543 950 335 | 29 | -39 614 081 257 132 168 796 771 975 168 | 29 | 39 614 081 257 132 168 796 771 975 167 | 29 |
| 128 | 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 455 | 39 | -170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 728 | 39 | 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 | 39 |
Операции над целыми
Арифметические операции
К целочисленным значениям применимы в первую очередь арифметические операции. Ниже приведены самые часто используемые (в скобках указаны их обозначения в различных языках программирования и им аналогичным средствах).
В некоторых языках программирования для лаконичности есть операторы, которые позволяют производить арифметическую операцию с присвоением. Например, «+=» складывает текущее значение переменной слева с выражением справа и помещает результат в исходную переменную. Так же в некоторых языках и средах доступна совмещённая операция MulDiv, которая умножает на одно число, а потом делит результат на второе.
Обычно самыми дорогими по скорости операциями являются умножение и деление (получение остатка от деления).
В памяти компьютера для хранения целых чисел обычно отводится ячейки фиксированного объёма. Из-за этого операции увеличения и уменьшения значений могут приводить к переполнению, что оборачивается искажением результата. Некоторые языки программирования позволяют производит вызов исключения в таких случаях. Кроме этого можно определять поведение при переполнении:
Побитовые операции
Помимо математических, к целым числам применимы битовые операции, которые основаны на особенностях позиционного двоичного кодирования. Обычно они выполняются значительно быстрее арифметических операций и поэтому их используют как более оптимальные аналоги.
Работа со строками
Довольно частыми операциями являются получение строки из числового значения во внутреннем представлении и обратно — число из строки. При преобразовании в строку обычно доступны средства задания форматирования в зависимости от языка пользователя.
Ниже перечислены некоторые из представлений чисел строкой.
Перечислимый тип
К целым относится также перечислимый тип. Переменные перечислимого типа принимают конечный заранее заданный набор значений. Размер набора не определяется числом байтов, используемых для представления целочисленных значений переменных такого типа.
4.5 – Целочисленные типы данных без знака, и почему их следует избегать
Целочисленные типы данных без знака
В предыдущем уроке (4.4 – Целочисленные типы данных со знаком) мы рассмотрели целочисленные типы со знаком, которые представляют собой набор типов, которые могут содержать положительные и отрицательные целые числа, включая 0.
C++ также поддерживает беззнаковые целочисленные типы. Беззнаковые целочисленные значения – это целые числа, которые могут содержать только неотрицательные значения.
Определение беззнаковых целочисленных значений
Диапазоны значений целочисленных типов без знака
Ниже показана таблица, показывающая диапазоны беззнаковых целочисленных типов:
| Размер / Тип | Диапазон |
|---|---|
| 1 байт без знака | от 0 до 255 |
| 2 байт без знака | от 0 до 65 535 |
| 4 байт без знака | от 0 до 4 294 967 295 |
| 8 байт без знака | от 0 до 18 446 744 073 709 551 615 |
Диапазон беззнаковой переменной размером n бит составляет от 0 до (2 n )-1.
Целочисленные типы без знака хорошо подходят для сетей и систем с небольшим объемом памяти, когда нет необходимости в отрицательных числах, поскольку беззнаковые целочисленные значения могут хранить бо́льшие положительные числа, не занимая дополнительной памяти.
Напоминание относительно значений со знаком и без знака
Начинающие программисты иногда путаются между значениями со знаком и без знака. Простой способ запомнить разницу: чтобы отличить отрицательные числа от положительных, мы используем знак минус. Если знак не указан, мы предполагаем, что число положительное. Следовательно, целочисленное значение со знаком (целочисленный тип со знаком) может различать положительные и отрицательные числа. Целочисленное значение без знака (целочисленный тип без знака) предполагает, что все значения положительны.
Переполнение целочисленных значений без знака
Что произойдет, если мы попытаемся сохранить число 280 (для представления которого требуется 9 бит) в 1-байтовом (8-битном) целочисленном значении без знака? Ответ – переполнение.
Примечание автора
Как ни странно, в стандарте C++ прямо говорится, что «вычисление с использованием беззнаковых операндов никогда не может переполниться». Это противоречит общему мнению программистов о том, что целочисленное переполнение охватывает случаи как со знаком, так и без знака. Учитывая, что большинство программистов рассмотрело бы этот случай как переполнение, мы будем называть его переполнением, несмотря на утверждения C++ об обратном.
Если значение без знака выходит за пределы допустимого диапазона, оно делится на число, превышающее на единицу наибольшее число, допустимое для заданного типа данных, и сохраняется только остаток.
Число 280 слишком велико, чтобы поместиться в наш 1-байтовый диапазон от 0 до 255. Значение, которое на 1 больше максимального числа для этого типа данных, равно 256. Следовательно, мы делим 280 на 256, получая остаток 24. Остаток 24 – это то, что в итоге сохранится.
Вот еще один способ размышления о том же. Любое число, превышающее наибольшее число, которое может быть представлено заданным типом данных, просто «оборачивается» (или совершает циклический переход). Число 255 находится в диапазоне 1-байтового целочисленного типа, поэтому 255 сохранится нормально. А число 256 находится за пределами диапазона, поэтому оно оборачивается до значения 0. 257 оборачивается до значения 1. 280 оборачивается до значения 24.
Давайте посмотрим на это, используя 2-байтовые целые числа:
Как вы думаете, каким будет результат работы этой программы?
Приведенный выше код в некоторых компиляторах вызывает предупреждение, поскольку компилятор обнаруживает, что целочисленный литерал выходит за пределы допустимого диапазона для данного типа. Если вы всё равно хотите скомпилировать этот код, временно отключите параметр «Treat warnings as errors» (обрабатывать предупреждения как ошибки).
В качестве отступления.
Многие заметные ошибки в истории видеоигр произошли из-за поведения циклического перехода целочисленных значений без знака. В аркадной игре Donkey Kong невозможно пройти уровень 22 из-за бага переполнения, из-за которого у пользователя недостаточно бонусного времени для завершения уровня.
Споры по поводу чисел без знака
Многие разработчики (и некоторые крупные компании, например, Google) считают, что разработчикам следует избегать целочисленных типов без знака.
Во многом это связано с двумя типами поведения, которые могут вызывать проблемы.
На машине автора эта, казалось бы, невинно выглядящая программа дает следующий результат:
Во-вторых, непредвиденное поведение может возникнуть при смешивании целочисленных значений со знаком и без знака. В приведенном выше примере, даже если один из операндов ( x или y ) будет со знаком, другой операнд (беззнаковый) приведет к тому, что операнд со знаком будет преобразован в целочисленное значение без знака, и будет получено такое же поведение!
Рассмотрим следующий фрагмент:
Если вам нужно защитить функцию от отрицательных входных данных, используйте вместо этого утверждение или исключение. Они оба будут рассмотрены позже.
Начинающие программисты часто используют целочисленные типы без знака для представления неотрицательных данных или для того, чтобы воспользоваться дополнительно расширенным диапазоном. Бьярн Страуструп, разработчик C++, сказал: «Использование unsigned int вместо int для получения еще одного бита для представления положительных целых чисел почти никогда не бывает хорошей идеей».
Предупреждение
Избегайте использования числовых типов без знака, за исключением особых случаев или, когда это необходимо.
Не избегайте отрицательных чисел с помощью беззнаковых типов. Если вам нужен больший диапазон, чем предлагает числовой тип со знаком, используйте один из целочисленных типов гарантированной ширины, показанных в следующем уроке (4.6 – Целочисленные типы фиксированной ширины и size_t ).
Если вы всё же используете беззнаковые числа, по возможности избегайте смешивания чисел со знаком и без знака.
Так где же стоит использовать беззнаковые числа?
В C++ всё же есть несколько случаев, когда можно (или необходимо) использовать беззнаковые числа.
Во-первых, числа без знака предпочтительнее при работе с битами (рассматривается в главе O (это заглавная буква «о», а не «0»).
Во-вторых, использование беззнаковых чисел всё еще неизбежно в некоторых случаях, в основном тех, которые связаны с индексацией массивов. Подробнее об этом мы поговорим в уроках по массивам и индексированию массивов.
Также обратите внимание, что, если вы разрабатываете для встраиваемой системы (например, Arduino) или какого-либо другой системы с ограничениями процессора/памяти, использование чисел без знака более распространено и приемлемо (а в некоторых случаях неизбежно) по соображениям производительности.
Сумма целочисленное значение что это такое в телеграмме значит
Считайте или суммируйте только целые числа в Excel
В этом посте представлены две формулы на основе функции СУММПРОИЗВ и ИЗМЕНИТЬ, которые помогут вам подсчитывать и суммировать только целые числа в диапазоне ячеек в Excel.
Как считать в Excel только целые числа
Как показано на скриншоте ниже, есть таблица продаж продуктов, чтобы подсчитать только целые числа в столбце Продажи, вы можете сделать следующее, чтобы достичь этого.
Общая формула
=SUMPRODUCT(—(MOD(range,1)=0))
аргументы
Как пользоваться этой формулой?
1. Выберите пустую ячейку, чтобы разместить результат.
2. Введите в нее приведенную ниже формулу и нажмите Enter ключ для получения результата.
=SUMPRODUCT(—(MOD(E3:E17,1)=0))
Как работает эта формула?
=SUMPRODUCT(—(MOD(E3:E17,1)=0))
Как суммировать только целые числа в Excel
Чтобы суммировать только целые числа в указанном диапазоне ячеек, вы можете сделать следующее.
В качестве примера возьмем приведенную выше таблицу продаж продуктов.
Общая формула
=SUMPRODUCT(—(MOD(range,1)=0)*range)
аргументы
Как пользоваться этой формулой?
1. Выберите пустую ячейку, введите в нее приведенную ниже формулу и нажмите Enter ключ для получения результата.
=SUMPRODUCT(—(MOD(E3:E17,1)=0)*E3:E17)
Как работает эта формула?
=SUMPRODUCT(—(MOD(E3:E17,1)=0)*E3:E17)
Связанные функции
Функция СУММПРОИЗВ в Excel
Функцию СУММПРОИЗВ в Excel можно использовать для умножения двух или более столбцов или массивов, а затем получения суммы произведений.
Функция Excel MOD
Функция Excel MOD возвращает остаток от деления числа на делитель. Результат имеет тот же знак, что и делитель.
Родственные формулы
Подсчитайте числа, которые начинаются с определенного числа
В этом руководстве представлена формула на основе функций СУММПРОИЗВ и ВЛЕВО для подсчета количества ячеек, содержащих числа, начинающиеся с определенного числа в Excel.
Подсчитайте несколько критериев с логикой НЕ в Excel
Эта статья покажет вам, как подсчитать количество ячеек с несколькими критериями с логикой НЕ в Excel.
Подсчет вхождений определенного текста во всей книге Excel
В этой статье будет продемонстрирована формула, основанная на функциях СУММПРОИЗВ, СЧЁТЕСЛИ и КОСВЕННО, для подсчета вхождений определенного текста во всей книге.
Подсчитайте числа, где n-я цифра равна заданному числу
В этом руководстве представлена формула, основанная на функциях СУММПРОИЗВ и СРЕДНЕЕ, для подсчета чисел, где n-я цифра равна заданному числу в Excel.
Лучшие инструменты для работы в офисе
Поразрядные операции с целыми числами
Кувшинов Д.Р.
Системы счисления
Система счисления — способ записи чисел с помощью символов (называемых цифрами).
Привычная для людей система счисления — позиционная десятичная. Слово десятичная означает, что используются десять различных цифр. Слово позиционная означает, что положение цифры в записи числа имеет важное значение. Позиции цифр называются разрядами и нумеруются в обычной записи справа налево.
Например, число 9512 состоит из четырех разрядов.
| цифра | разряд | название разряда |
|---|---|---|
| 9 | 3 | тысячи |
| 5 | 2 | сотни |
| 1 | 1 | десятки |
| 2 | 0 | единицы |
Разряды удобно нумеровать, начиная не с единицы, а с нуля, что видно по следующей общей формуле, связывающей собственно число с его записью в позиционной системе счисления (ц — некоторая цифра, val(ц) — числовое значение цифры):
При помощи n разрядов можно записать r n разных целых чисел (от 0 до (r n – 1) включительно). Запись в позиционной системе легко обобщается на дроби: достаточно поставить разделитель целой и дробной частей (запятую или точку), указывающий нулевой разряд, и можно дописывать справа от него разряды, соответствующие отрицательным степеням основания.
Результат деления с остатком на степень основания r i можно выписать, просто “разрезав” запись числа по разряду i:
Таким образом, частное записывается цифрами в разрядах (n–1) … i, а остаток — цифрами в разрядах (i–1) … 0.
Это свойство позволяет формализовать алгоритм выписывания произвольного числа x в заданной системе счисления. Имеем рекуррентное соотношение:
Взяв остаток от деления x на r, получим цифру в младшем разряде. Далее, положим x равным частному деления x на r. Будем повторять эти операции, пока не получим 0 в качестве частного, выписывая остатки в соответствующие разряды записываемого числа.
В качестве примера, переведем 125 из десятичной в двоичную систему: 125 = 62·2 + 1, 62 = 31·2 + 0, 31 = 15·2 + 1, 15 = 7·2 + 1, 7 = 3·2 + 1, 3 = 1·2 + 1, 1 = 0·2 + 1 (получаемые остатки выписываем справа налево).
Откуда заключаем, что 12510 = 11111012.
| Операция | C++ |
|---|---|
| сложение | + |
| вычитание | — |
| умножение | * |
| деление | / |
| взятие остатка | % |
Деление и остаток
Деление на нуль или взятие остатка от деления на нуль приводит к неопределённому поведению. Более экзотическая ситуация, в которой также возникает неопределённое поведение — невозможность представить результат деления. В частности, это возможно при делении (или взятие остатка от деления) на –1 наименьшего представимого целого при использовании дополнительного кода (см. далее).
В C++11 и выше для целых a и b частное a / b округляется в сторону нуля (т. е. дробная часть отбрасывается). Остаток от деление определяется исходя из тождества
Таким образом, знак остатка совпадает со знаком делимого.
Двоичная система счисления
Простейшая позиционная система счисления соответствует r = 2 — “двоичная система счисления”. В двоичной системе счисления всего две цифры: 0 и 1.
Двоичный разряд называется бит (от англ. binary digit, кроме того, по-английски bit букв. “кусочек”).
Благодаря своей минимальности двоичная система проще остальных реализуется “в железе”. Так, если заряд ячейки памяти больше порогового уровня Q1, считаем, что она хранит 1, если же заряд меньше порогового уровня Q0, считаем, что она хранит 0. Таким образом, ячейка памяти, способная находиться в двух различимых состояниях, может хранить один бит. Две таких ячейки могут хранить два бита и суммарно находиться в 2 2 = 4 разных состояниях (комбинации 00, 01, 10 и 11).
Или наоборот, если ячейка может находиться в четырёх различимых состояниях, например, хранить четыре различимых уровня заряда, то можно считать, что она хранит два бита, нужно лишь назначить разным уровням заряда условные значения 00, 01, 10 и 11.
Подобная ячейка памяти используется в MLC Flash-памяти. А в TLC flash-памяти ячейка может хранить уже восемь различимых уровней заряда или три бита (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 и 111). Чем больше уровней — тем больше данных можно уместить в единице объёма, но и вероятность ошибок возрастает, так как различные уровни заряда находятся тем ближе друг ко другу, чем их больше.
Двоичные числа легко складывать “столбиком”, учитывая перенос. Нетрудно выполнить и умножение “столбиком”: сдвинутые влево копии левого сомножителя умножаются на соответствующий разряд правого сомножителя и складываются.
| 10011·1101 | × |
|---|---|
| 10011 | 1 |
| 100110 | 0 |
| 1001100 | 1 |
| 10011000 | 1 |
| 11110111 | = |
Под сдвигом влево на n разрядов понимается дописывание справа от числа n нулей. Если разрядная сетка ограничена, то старшие разряды могут отбрасываться.
Что касается деления с остатком, то оно выполняется “наоборот”: надо вычитать из делимого максимально сдвинутый влево делитель, пока это возможно. Например, ниже получено, что 1110110 = 1101·1001 + 1.
| 1110110 | 1001 |
|---|---|
| 1001000 | 1000 |
| 100100 | 100 |
| 10010 | 0 |
| 1001 | 1 |
| = 1 | 1101 |
Шестнадцатеричная система счисления
Для перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему и обратно удобно пользоваться следующей таблицей (одной шестнадцатеричной цифре соответствует четыре двоичных цифры).
| Биты | Цифра | Значение |
|---|---|---|
| 0000 | 0 | 0 |
| 0001 | 1 | 1 |
| 0010 | 2 | 2 |
| 0011 | 3 | 3 |
| 0100 | 4 | 4 |
| 0101 | 5 | 5 |
| 0110 | 6 | 6 |
| 0111 | 7 | 7 |
| 1000 | 8 | 8 |
| 1001 | 9 | 9 |
| 1010 | A | 10 |
| 1011 | B | 11 |
| 1100 | C | 12 |
| 1101 | D | 13 |
| 1110 | E | 14 |
| 1111 | F | 15 |
Числовые литералы C++
Литерал — непосредственно выписанное в программе значение. Например, 3.1415926 — литерал, а имя константы PI — не литерал, а идентификатор.
В C++ по умолчанию числовые литералы трактуются как записанные в десятичной системе счисления. Однако доступны ещё три системы, принадлежность к которым указывается префиксом.
Поддержка префикса 0b введена в C++14, поэтому некоторые компиляторы могут его не поддерживать. Также в C++14 введена поддержка разделителя ’ (например 1’000 ), предназначенного для удобства чтения.
*Ширина в битах указана для 32-битной версии платформы x86.
Кодирование отрицательных чисел
Для представления чисел компьютер применяет фиксированные наборы двоичных разрядов (бит). Способ представления некоторого множества чисел таким набором называют кодированием или кодом. Для неотрицательных целых чисел придумать такой код не составляет труда — надо просто выписать представление в двоичной системе счисления. Например, один байт (8 двоичных разрядов) способен хранить двоичные коды от 00000000 до 11111111.
| Код | Число |
|---|---|
| 00000000 | 0 |
| 00000001 | 1 |
| 00000010 | 2 |
| 00000011 | 3 |
| 00000100 | 4 |
| … | … |
| 01111111 | 127 |
| 10000000 | 128 |
| 10000001 | 129 |
| 10000010 | 130 |
| … | … |
| 11111110 | 254 |
| 11111111 | 255 |
Ниже даны описания четырёх широко известных способов.
Прямой код
Прямой код предполагает выделение отдельного разряда под знак числа. Обычно это старший разряд. Если он равен нулю, то число (составленное из прочих разрядов) считается положительным, а если он равен единице, то — отрицательным.
| Код | Число |
|---|---|
| 00000000 | 0 |
| 00000001 | 1 |
| 00000010 | 2 |
| … | … |
| 01111110 | 126 |
| 01111111 | 127 |
| 10000000 | –0 |
| 10000001 | –1 |
| 10000010 | –2 |
| … | … |
| 11111110 | –126 |
| 11111111 | –127 |
Недостатки: наличие двух нулей, увеличение числа на единицу как беззнакового может как добавить единицу, так и вычесть единицу.
Преимущество: симметричные диапазоны отрицательных и положительных чисел.
Обратный код
Обратный код представляет отрицательные числа в виде инверсии (каждый ноль заменяется единицей, а каждая единица — нулём) положительных аналогов.
| Код | Число |
|---|---|
| 00000000 | 0 |
| 00000001 | 1 |
| 00000010 | 2 |
| … | … |
| 01111110 | 126 |
| 01111111 | 127 |
| 10000000 | –127 |
| 10000001 | –126 |
| 10000010 | –125 |
| … | … |
| 11111110 | –1 |
| 11111111 | –0 |
Недостатки: наличие двух нулей, проверка на чётность требует проверки знака.
Преимущества: симметричные диапазоны отрицательных и положительных чисел; немного проще выполнить сложение по сравнению с прямым кодом — можно просто складывать коды, добавляя “знак” (значение старшего бита — ноль или один). Например: 100 + (–44) = 011001002 + (–001011002) = 011001002 + 110100112 + 1 = (1)001110002 = 56.
Сдвинутый код
Сдвинутый (или смещённый) код предполагает выбор некоторой константы b (сдвиг bias ), на которую сдвигается (путём вычитания) представление числа, взятое как беззнаковое целое. Обычно b выбирается равным половине диапазона (127 для 8-битного кода).
| Код | Число |
|---|---|
| 00000000 | –127 |
| 00000001 | –126 |
| 00000010 | –125 |
| 00000011 | –124 |
| … | … |
| 01111111 | 0 |
| 10000000 | 1 |
| 10000001 | 2 |
| 10000010 | 3 |
| … | … |
| 11111110 | 127 |
| 11111111 | 128 |
Сдвинутый код используется в особых случаях, например, для кодирования показателя в формате чисел с плавающей точкой по стандарту IEEE-754.
Дополнительный код
Дополнительный код получается из обратного кода добавлением единицы к инверсии (т.е. “знак” добавляется не в сумматоре, а заранее — к самому представлению), что позволяет складывать и вычитать числа как их беззнаковые представления.
| Код | Число |
|---|---|
| 00000000 | 0 |
| 00000001 | 1 |
| 00000010 | 2 |
| … | … |
| 01111110 | 126 |
| 01111111 | 127 |
| 10000000 | –128 |
| 10000001 | –127 |
| 10000010 | –126 |
| … | … |
| 11111110 | –2 |
| 11111111 | –1 |
Недостатки: несимметричность диапазонов отрицательных и положительных чисел; если сменить знак у наименьшего числа, получится оно же. В 8-битном случае: –(–128) = –100000002 = 011111112 + 1 = 100000002 = –128.
Преимущества: нет двух нулей, диапазон используется “полностью”; наиболее удобный для аппаратной реализации.
В настоящее время дополнительный код используется почти повсеместно.
Целочисленные типы C++
Встроенные
Некоторые правила, обязательные для всех реализаций:
Правила приведения целочисленных типов:
Минимумы и максимумы, задающие минимальные гарантированные диапазоны целочисленных типов, выписаны по приложению E из стандарта ISO C99 (стандарт ISO C++ не задаёт конкретных величин).
| Тип | Минимум | Максимум | Пример: x86-32 |
|---|---|---|---|
| signed char | –127 | 127 | 1 байт, 8 бит, [–128, 127] |
| unsigned char | 0 | 255 | 1 байт, [0, 255] |
| signed short int | –32767 | 32767 | 2 байта, [–32768, 32767] |
| unsigned short int | 0 | 65535 | 2 байта, [0, 65535] |
| signed int | –32767 | 32767 | 4 байта, [–2147483648, 2147483647] |
| unsigned int | 0 | 65535 | 4 байта, [0, 4294967295] |
| signed long int | –2147483647 | 2147483647 | 4 байта, [–2147483648, 2147483647] |
| unsigned long int | 0 | 4294967295 | 4 байта, [0, 4294967295] |
| signed long long int | –9223372036854775807 | 9223372036854775807 | 8 байт, [–9223372036854775808, 9223372036854775807] |
| unsigned long long int | 0 | 18446744073709551615 | 8 байт, [0, 18446744073709551615] |
На практике минимум для знаковых типов обычно меньше на единицу, чем приведённые выше значения (например, –128 вместо –127) благодаря использованию дополнительного кода.
Заголовочный файл climits
Данный заголовочный файл позволяет узнать некоторые характеристики базовых типов данной реализации.
| Макрос | Значение |
|---|---|
| CHAR_BIT | количество бит в байте |
| X_MIN | минимум целочисленного типа X (см. варианты ниже — только знаковые и char) |
| X_MAX | максимум целочисленного типа X (см. варианты ниже) |
| X = CHAR | тип char |
| X = SCHAR | тип signed char |
| X = UCHAR | тип unsigned char |
| X = SHRT | тип signed short |
| X = USHRT | тип unsigned short |
| X = INT | тип signed int |
| X = UINT | тип unsigned int |
| X = LONG | тип signed long |
| X = ULONG | тип unsigned long |
| X = LLONG | тип signed long long |
| X = ULLONG | тип unsigned long long |
Заголовочный файл cstddef
Данный заголовочный файл вводит два синонима некоторых целочисленных типов:
Заголовочный файл cstdint
Данный заголовочный файл предоставляет синонимы целочисленных типов заданного размера (X может быть равно 8, 16, 32 или 64):
| Тип | Смысл |
|---|---|
| intX_t | знаковое целое размера X бит (опциональные) |
| uintX_t | беззнаковое целое размер X бит (опциональные) |
| int_fastX_t | знаковое целое размера не меньше X бит |
| uint_fastX_t | беззнаковое целое размера не меньше X бит |
| int_leastX_t | наименьшее знаковое целое размера не меньше X бит |
| uint_leastX_t | наименьшее беззнаковое целое размера не меньше X бит |
| intmax_t | знаковое целое самого большого размера |
| uintmax_t | беззнаковое целое самого большого размера |
| intptr_t | знаковое целое, способное вместить адрес (опциональный) |
| uintptr_t | беззнаковое целое, способное вместить адрес (опциональный) |
Типы, помеченные как “опциональные”, могут не предоставляться конкретной реализацией. Если uintX_t и intX_t предоставляются, то они имеют размер точно X бит. Если intX_t предоставляются, то они используют дополнительный код.
Заголовочный файл cstdlib
В данном заголовочном файле объявлены две функции, которые могут применяться в целочисленных вычислениях: деление с остатком (div) и модуль числа (abs). Варианты функции div возвращают значения структуры div_t и её аналогов, поля которой rem и quot установлены в значение остатка и частного соответственно. Перегруженные варианты div и abs, принимающие long и long long, доступны только в C++. Варианты функций для long long введены в стандартах C++11 и C99.
| Функция | Тип параметров | Тип результата |
|---|---|---|
| div | int, long, long long | div_t, ldiv_t, lldiv_t |
| ldiv | long | ldiv_t |
| lldiv | long long | lldiv_t |
| abs | int, long, long long | int, long, long long |
| labs | long | long |
| llabs | long long | long long |
Поразрядные двоичные операции
Поразрядными булевскими (или побитовыми) операциями называются операции, предполагающие применение булевских операций к каждой паре двоичных разрядов, стоящих в одной позиции, независимо от других разрядов.
| Операция | Слева | Справа | Результат | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| & | 1100 | 1010 | 1000 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | | 1100 | 1010 | 1110 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ^ | 1100 | 1010 | 0110 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Операция | Обозначение | Замечание |
|---|---|---|
| линейный сдвиг влево | a | |
| линейный сдвиг вправо | a >> b | a — беззнакового типа |
| арифметический сдвиг вправо | a >> b | a — знакового типа* |
*Поддержка арифметического сдвига зависит от конкретной платформы и не гарантируется стандартом.
Ниже показаны результаты сдвига 8-битного слова на 0–4 бит вправо для циклического, линейного и арифметического сдвигов.
| бит | циклич. | линейн. | арифм. |
|---|---|---|---|
| 0 | 11001101 | 11001101 | 11001101 |
| 1 | 11100110 | 01100110 | 11100110 |
| 2 | 01110011 | 00110011 | 11110011 |
| 3 | 10111001 | 00011001 | 11111001 |
| 4 | 11011100 | 00001100 | 11111100 |
Упражнение. Продолжите эту таблицу для сдвигов на 5–9 бит.
Операции циклического сдвига аппаратно реализованы во многих процессорах, однако, как правило, не поддерживаются языками высокого уровня напрямую (включая C и C++).
Несложно реализовать циклический сдвиг через комбинацию линейных сдвигов.
Некоторые компиляторы (например, g++) способны оптимизировать данный код, заменив его командой циклического сдвига.
Маской называют последовательность бит, задающую, значения каких бит требуется извлечь путем применения поразрядного и к другой последовательности бит (соответствующие биты в маске установлены в 1, прочие — в 0).
Маску можно представлять себе в виде картонного шаблона, в котором прорезаны отверстия в нужных местах. При наложении такого шаблона на текст (вычислении поразрядного и) мы видим только те буквы, которые попали под отверстия (биты в тех позициях, где в маске стоят единицы).
Поразрядные операции относятся к простейшим операциям с данными, которые способен выполнять процессор, поэтому ими нередко заменяют вычислительно тяжелые арифметические действия (предполагаем, что результаты представимы в машинном слове), например:
Упражнение. Проанализируйте функции возведения числа в целочисленную степень, представленные ниже. Правильно ли они работают и почему? Сколько умножений им требуются для получения результата?
Использование чисел как представлений множеств
Отдельные биты могут использоваться как признаки наличия элементов из некоторого конечного множества в подмножестве (представленном последовательностью бит). Так, если есть множество B = < 0, 1, …, 7 >, то 8-битный байт может служить представлением произвольного подмножества M ⊆ B. Если i ∈ M, то i-й бит байта установлен в единицу (в противном случае — в ноль). Указанный способ представления подмножеств позволяет выполнять теоретико-множественные операции с помощью поразрядных операций.
Упражнение. В таблице ниже замените вопросительные знаки на соответствующий им C++-код.
| Операция | кратко | C++ |
|---|---|---|
| пустое множество | ∅ | 0 |
| полное множество | All | ? |
| принадлежность | i ∈ A | ((1u |
| подмножество | A ⊆ B | ? |
| дополнение | All \ A | |
| пересечение | A ∩ B | A & B |
| объединение | A ∪ B | ? |
| разность | A \ B | ? |
| симм. разность | A Δ B | ? |
Дополнительные примеры
Данные примеры являются дополнительными и предназначены для углублённого изучения приёмов программирования и оперирования целыми числами или группами бит.
Проверить значение заданного бита
Данное действие выполнить весьма просто: нужно установить бит с заданным номером, что легко достигается с помощью операции сдвига влево, и использовать его как маску.
Изменить значение заданного бита
Следующие четыре функции возвращают новое значение слова (с изменённым битом в заданной позиции).
Извлечь битовое поле
Под “битовым полем” в данном примере понимается непрерывный фрагмент машинного слова (например, все биты с 5-го по 10-й включительно: start = 5, length = 6). Пусть задан номер начального бита, принадлежащего битовому полю, и количество бит, входящих в битовое поле. Тогда извлечь значение битового поля в виде беззнакового целого можно следующей функцией.
Установить значение битового поля
Обратная к предыдущей задача: требуется записать определённые значения бит в заданное битовое поле. Это можно сделать следующим образом (функция возвращает новое значение машинного слова).
Наложение маски на value можно убрать, если гарантируется, что value не выходит за пределы диапазона значений битового поля (т.е. value ∈ [0, 2 length –1]).
Некоторые современные процессоры предоставляют команды, выполняющие операции get_bitfield и set_bitfield.
Вычислить ближайшее сверху кратное заданной степени двойки
Пусть заданы натуральные числа P = 2 p и число X. Необходимо вычислить наименьшее число N такое, что N ≥ X и N = nP для некоторого натурального n.
Метод вычисления. В случае, если X mod P не равен нулю, то добавление к X максимального остатка (P – 1) даёт перенос бита в разряд p, а если X mod P равен нулю, то не даёт. Таким образом, если обнулить младшие p бит суммы (X + (P – 1)), то получим искомое: N = (X + (P – 1)) &
Вычислить ближайшую сверху степень двойки
Требуется вычислить число, равное степени двойки, не меньшей, чем заданное натуральное число. Ниже приведён результат для 32-битного числа.
Если имеется эффективная реализация функции leading_zero_bits, то можно использовать её
Проверить чётность количества установленных бит
Рассмотрим 8-битное число, составленное из бит с b0 по b7. Число установленных бит можно получить, сложив все разряды числа: b0 + b1 + … + b7. Чётность равна остатку от деления этой суммы на 2. Иными словами, вместо сложения отдельных бит можно использовать операцию исключающее или, выполняющую сложение по модулю 2.
Обратим внимание, что благодаря ассоциативности и коммутативности сложения можно складывать биты в произвольном порядке, например, так: ((b7 + b6) + (b5 + b4)) + ((b3 + b2) + (b1 + b0)), то есть сложить пары соседних бит, потом соседние пары бит результата (из которых важен только младший бит), потом соседние четверки бит и т.д. Данный метод применим к произвольному числу бит и позволяет ускорить вычисление с помощью применения поразрядных операций, одновременно задействующих группы бит, уложенные в одном машинном слове.
Вариант для 32-битного числа (с каждым удвоением разрядности достаточно добавлять лишь одну строчку-комбинацию ^= и >>, их относительный порядок не играет роли):
Получить сумму младших бит во всех четвёрках бит числа можно одной операцией умножения на число, составленное из четвёрок бит 00012, длиной в машинное слово (почему?), при этом результат будет находиться в четырёх старших битах. Таким образом, вышеприведённый код можно заменить на следующий код. Этот код эффективнее, если целевой процессор умеет быстро умножать (что, в частности, справедливо для современных процессоров семейства x86).
Другой способ оптимизации первого варианта parity не использует умножение и заключается в использовании 32-битного числа как таблицы бит чётности. (Данный способ позаимствован отсюда.)
Наконец, если доступна быстрая функция вычисления количества установленных бит (например, реализованная через команду процессора), то можно взять младший бит её результата.
Определить число установленных бит
Относительно медленный, но элегантный и не зависящий от количества разрядов способ (предложен Б.Керниганом), снимающий в цикле по одному установленному биту (справа налево):
Ещё один широко известный и популярный (например, встречается в реализациях стандартного класса bitset) метод заключается в использовании таблицы количеств бит для всех возможных значений одной тетрады и суммирования по тетрадам (опять же в цикле). Данный метод также не зависит от разрядности числа.
“Параллельный” вариант, манипулирующий парами, четвёрками и т.д. бит (сразу немного оптимизированный):
Его можно ещё слегка оптимизировать, если заметить, что по крайней мере одно наложение маски избыточно, так как переносы не пересекают последовательности нулевых бит:
Наконец, для процессоров, способных быстро умножать, может использоваться версия:
Два последних варианта позаимствованы отсюда.
Многие процессоры предоставляют команды для выполнения данной операции.
Расстояние по Хэммингу
Вес строки бит по Хэммингу (норма) — количество единичных бит (см. предыдущий пример).
Расстояние между строками бит по Хэммингу (метрика) — количество различающихся бит в одинаковых позициях.
Поменять местами половинки числа
Частный случай циклического сдвига: сдвинуть циклически (хоть влево, хоть вправо) на половину разрядности.
Обратить порядок байт
Необходимость обращения байт иногда возникает из-за требования передачи двоичных данных между компьютерами с разными архитектурами (см. порядок байт). Современные процессоры имеют встроенные команды для быстрого обращения порядка байт (x86) и/или способны работать в разных режимах и быстро переключаться между ними (PowerPC, ARM). Но если требуется реализовать процессорно-независимую функцию, то это можно сделать, например так (метод “в лоб”, эффективен на конвейерных процессорах с большим набором регистров):
Более сложный для понимания способ (см. также следующие примеры с обращением порядка бит) использует меньше операций:
Обратить порядок тетрад
Способ, применённый для обращения порядка байт, можно расширить для обращения порядка тетрад. Нужно поменять местами соседние тетрады и обратить порядок байт.
Обратить порядок бит
Итак, если мы уже умеем обращать порядок тетрад, то можно обратить порядок бит, если обратить его в каждой тетраде — и затем обратить порядок тетрад. Для этого поменяем местами соседние биты, затем пары соседних бит аналогично тому, как поменяли местами соседние тетрады в предыдущем примере.
Впрочем, если базовый swap_bytes реализован стандартными операциями, а не с помощью специальной команды процессора, то лучше не использовать его, а просто распространить применённый метод “наверх” вплоть до половинок 32-битного слова.
Или так (занести маски):
Для расширения указанного метода на 64-битные слова надо будет добавить ещё одну строчку (уже для обмена 32-битных половин) и так далее при каждом удвоении.
Некоторые процессоры (например, семейства ARMv8) предоставляют встроенную команду для обращения порядка бит.
Определить номер самого правого установленного бита
Простой и достаточно эффективный (из реализуемых стандартными операциями) способ на основе двоичного поиска, применённый к 32-битным числам.
Вариант на основе leading_zero_bits потенциально менее эффективен, поскольку надо особым образом обрабатывать значение 0.
Определить номер самого левого установленного бита
Обратив порядок поиска в примере с реализацией trailing_zero_bits через двоичный поиск, получим следующий код.
Тот же метод для получения номера самого старшего установленного бита (ненулевой аргумент).
При наличии эффективной реализации функции leading_zero_bits, реализация find_first_set тривиальна.
Наконец, при наличии эффективной реализации функции bit_count, можно реализовать leading_zero_bits следующим образом (применив тот же приём, что и для вычисления ближайшей сверху степени двойки):
- Сумма целочисленное значение что это такое в телеграмме для просмотра тик ток
- Сумма цифр числа меньше самого числа в 19 раз сколько существует таких 3 значных чисел