как разделить круглый торт на 3 равные части
Как справедливо порезать торт
Специалисты по информатике разработали алгоритм справедливого раздела пирога для любого количества людей
Двое молодых учёных, специалистов в области информатики, придумали, как честно поделить торт между любым количеством людей, решив задачу, над которой математики бились десятилетиями. Их работа удивила многих исследователей, считавших такое разделение невозможным в принципе.
Делёж пирога – это метафора для широкого круга реальных задач, включающих деление некоего непрерывного объекта, будь это торт или надел земли, между людьми, по-разному оценивающими его свойства. Одному нравится шоколадное покрытие, другой хочет получить кремовые цветочки. С библейских времён известен алгоритм деления такого объекта между двумя людьми, такой, чтобы никто не завидовал другому: один человек делит торт на две равные для него части, а другой выбирает одну из них. В Книге Бытия Авраам (тогда ещё известный, как Аврам) и Лот использовали этот метод для раздела земли, когда Авраам придумывал разделение, а Лот выбирал между Иорданом и Ханааном.
В 1960-х математики придумали алгоритм для подобного разделения пирога «без зависти» уже для трёх человек. Но до сих пор лучшим решением задачи для количества людей больше трёх была процедура, созданная в 1995 году политологом Стивеном Брамсом [Steven Brams] из Нью-Йоркского университета и математиком Аланом Тейлором [Alan Taylor] из Юнион-колледжа. Она гарантировала «справедливую» делёжку пирога, но с одним условием – процедура была «неограниченной», то есть число шагов, необходимое для делёжки, могло оказаться сколь угодно большим.
Алгоритм Брамса-Тейлора в своё время был назван прорывным, но «его неограниченность, по-моему, была большим недостатком», говорит Ариель Прокаччиа [Ariel Procaccia], специалист по информатике из Университета Карнеги-Меллон, один из создателей Spliddit, бесплатного онлайн-инструмента для справедливого раздела различных задач, от домашних обязанностей до платы за совместную аренду квартиры.
За последние 50 лет многие математики и специалисты по информатике, включая Прокаччиа, убедили себя, что ограниченного справедливого алгоритма по разделу торта на n частей не существует.
«Именно эта задача привела меня в область справедливых разделений»,- говорит Уолтер Стромквист [Walter Stromquist], профессор математики в Колледже Брина Мавра в Пенсильвании, достигший неплохих результатов в задаче делёжки торта в 1980. «Всю жизнь я думал, что я вернусь к этой задаче в свободное время и докажу, что такое расширение результата невозможно в принципе».
Но, в апреле два специалиста по информатике опровергли эти ожидания, опубликовав алгоритм справедливой делёжки торта со временем работы, зависящим от количества участников дележа, а не от их личных предпочтений. Один из учёных, 27-летний Саймон Макензи [Simon Mackenzie], доктор наук из Карнеги-Меллон, представлял свою работу 10 октября на 57-м ежегодном симпозиуме IEEE по основам информатики.
Алгоритм чрезвычайно сложный. Раздел торта между n участниками может потребовать до n n n n n n шагов, с примерно таким же количеством разрезов. Даже для небольшого количества участников это число превышает количество атомов во Вселенной. Но у исследователей уже есть идеи по упрощению и ускорению алгоритма, по словам второго участника команды, Хариса Азиза [Haris Aziz], 35-летнего специалиста по информатике из Университета Нового Южного Уэльса, работающего в австралийской группе исследования данных Data61.
Специалисты, исследующие теорию справедливого деления, по словам Прокаччиа, считают это «однозначно лучшим результатом за десятилетия».
Кусочки торта
Алгоритм Азиза и Макензи основан на элегантной процедуре, независимо придуманной математиками Джоном Селфриджем [John Selfridge] и Джоном Конвейем в 1960-х, позволяющим справедливо разделить торт на троих.
Если Алиса, Боб и Чарли (A, B, C) хотят разделить торт, алгоритм начинается с того, что Чарли делит торт на три куска, которые для него выглядят равноценными. Алиса и Боб выбирают куски, нравящиеся им. Если они выберут разные куски – вуаля, каждый получает то, что хотел.
Если Алиса и Боб выберут один кусок, тогда Боб отрезает небольшую часть от этого куска так, чтобы кусок стал равноценен, с его точки зрения, другому куску торта – тому, который бы Боб выбрал во вторую очередь. Отрезанный остаточек откладывается. Теперь Алиса должна выбрать лучший для себя кусок из оставшихся трёх, а затем выбирает Боб – с условием, что он возьмёт обрезанный им кусок, если Алиса его не выберет. Чарли получает третий кусок.
В результате никто никому не завидует. Алиса выбирала первой. Боб получил один из двух одинаково ценных для него кусков. Чарли получил один из трёх изначальных кусков, которые он резал сам.
Остаётся лишь небольшой отрезанный остаточек. Но его можно разделить, не начиная алгоритм сначала и не попадая в бесконечный цикл обрезаний и выборов, поскольку Чарли в любом случае удовлетворён своим куском – и даже если бы тот, кому достался обрезанный кусок, получил бы в довесок к нему весь остаточек целиком, для Чарли это не выглядело бы нечестным, потому что обрезанный кусок и остаточек в сумме дадут кусок торта, эквивалентный его куску – ведь он изначально сам эти куски и нарезал. Азиз и Макензи описывают такое положение Чарли, как «доминирующее».
Теперь, если, к примеру, Алисе достался обрезанный кусок, то Боб режет обрезки на три части, эквивалентные с его точки зрения, Алиса из этих кусков выбирает один себе, затем выбирает Чарли, затем Боб. Все счастливы: Алиса выбирала первой, Чарли получает кусок лучше, чем у Боба (и ему всё равно, сколько взяла Алиса), а с точки зрения Боба все три куска равноценны.
Брамс и Тейлор использовали свойство «доминирования» (но с другим именем) для разработки своего алгоритма 1995 года, но они не дожали свою идею до появления ограниченного алгоритма. В следующие 20 лет никто не добился лучших результатов. «И не из-за недостатка попыток», как говорит Прокаччиа.
Непрофессиональные делители тортов
Когда Азиз и Макензи (АиМ) решили взяться за эту задачу пару лет назад, они были новичками в задаче дележа торта. «У нас не было столько опыта, как у людей, интенсивно работавших над ней,- говорит Азиз. – Хотя обычно это недостаток, в нашем случае он был преимуществом, поскольку мы думали по-другому».
АиМ начали с изучения задачи дележа на трёх участников с нуля, и в результате анализа пришли к ограниченному справедливому алгоритму для четырёх участников, опубликованному ими в прошлом году.
Им не удалось сразу показать, как расширить свой алгоритм на число участников, большее четырёх, но они с энтузиазмом занялись этой задачей. «После отправки работы, касавшейся четырёх участников, мы очень хотели побыстрее продолжить работу, пока кто-нибудь более опытный и умный не обобщит её самостоятельно до случая с n участниками»,- говорит Азиз. И примерно через год их поиски увенчались успехом.
Как и алгоритм Селфриджа-Конвея, протокол АиМ постоянно предлагает разным участникам разрезать торт на n равных частей, а другим – делать отрезы и выбирать куски торта. Но в алгоритме есть и другие шаги, например периодический обмен кусками тортов специальным образом, с целью увеличения количества доминирующих взаимоотношений между участниками.
Эти отношения позволяют АиМ уменьшить сложность задаче. Если, допустим, три участника доминируют над остальными, их уже можно отправлять есть свои куски торта – они будут довольны вне зависимости от того, кто получит остатки. После этого остаётся меньшее число участников, и после ограниченного количества таких шагов все остаются довольными и весь торт оказывается поделён.
«Оглядываясь назад, на сложность алгоритма, становится неудивительно, что его разработка потребовала столько времени»,- говорит Прокаччиа. Но АиМ уже считают, что могут упростить алгоритм, чтобы он не требовал обмена кусками и проходил всего за n n n шагов. По словам Азиза, они уже работают над этими результатами.
Брамс предупреждает, что и у более простого алгоритма не будет практического применения – ведь куски торта, полученные участниками, будут включать множество мелких крошек с разных частей торта. Такой подход не особенно-то полезен, если вы, например, проводите раздел земли.
Но для специалистов по математике и информатике, изучающих задачу, новый результат «обнуляет всю тему», говорит Стромквист.
Азиз говорит, что исследователям теперь предстоит понять, как сократить этот разрыв. «Думаю, что в обоих направлениях может быть достигнут прогресс».
Как красиво нарезать торт
В ресторанах торт принято подавать уже нарезанным на аккуратные кусочки – это забота персонала заведения. Но если вы решили собрать друзей и родственников у себя дома, организовать чаепитие и угостить их вкусным десертом, то придется самостоятельно сервировать стол. Сегодня мы поговорим о том, как правильно разрезать торт, чтобы не превратить его в бесформенную массу, состоящую из раскрошенных коржей, вытекшей начинки и кусочков разных размеров.
Способы нарезки тортов
клиньями. Пожалуй, это один из самых популярных методов. Отыщите центр торта, воткните острие ножа в корж и постепенно продвигайтесь к краям. Значительно облегчит задачу проволочный сырорез, позволяющий очень аккуратно разрезать кондитерские изделие;
ромбиками. Мало кто знает, как красиво нарезать торт ромбиками, чтобы кусочки получились максимально одинаковыми по размеру. Для этого необходимо десерт сначала разделить на горизонтальные полосы, затем пройтись ножом по диагонали кондитерского изделия.
Но что делать, если торт состоит из нескольких ярусов? В таком случае десерт рекомендуется нарезать в определенной последовательности, чтобы не разрушить всю конструкцию. Первый ярус лучше предварительно снять, а сам торт начинать нарезать со второго верхнего яруса, постепенно продвигаясь вниз.
Как нарезать круглый торт
Правильно нарезанный торт – это хорошо не только с эстетической точки зрения. Кондитерское изделие, разделенное на равные кусочки, будет дольше оставаться свежим, коржи не засохнут, а крем не заветрится. Существует два основных способа, позволяющих красиво нарезать круглый торт так, чтобы он сохранил свой первоначальный вкус даже спустя несколько дней.
Кондитерское изделие с минимальным декором удобно нарезать именно таким способом. Для этого возьмите небольшую круглую миску, поставьте посуду на торт вверх дном таким образом, чтобы по центру верхушки отпечатался круг. Затем то же самое нужно проделать с оставшейся серединкой, а если вдруг не хватает места для маневра, то разрежьте ее на четвертинки.
Некто Френсис Галтон в 1906 году придумал, как правильно нарезать торт с точки зрения математика. По его словам именно такой способ приносит «максимум гастрономического удовольствия» за счет того, что кондитерское изделие не будет засыхать на срезах, поэтому останется мягким и сочным.
Для начала нужно вырезать и вынуть полоску из середины торта (ее можно поделить на части, если диаметр десерта слишком велик). Затем необходимо совместить оставшиеся два сегмента и снова вырезать полоску из середины. В итоге, останутся четвертушки, которые разделены радиально. Их нужно всего лишь совместить друг с другом, чтобы держать кондитерское изделие в собранном виде.
Как нарезать квадратный торт
Сегодня всю большую популярность набирают торты квадратной или прямоугольной формы. Они не только потрясающе выглядят, но и имеют одно очень важное преимущество – их довольно легко разделить на равные порции. Разрезать торт можно двумя способами:
квадратами. Для этого сделайте два или три длинных продольных разреза (в зависимости от размера десерта) с одинаковым интервалом, а затем несколько раз разрежьте торт поперек, деля длинные стороны на равные части;
треугольниками. Нарежьте торт на прямоугольные куски, как описано выше. Помните, что их должно быть в 2 раза меньше, чем гостей. Затем каждый прямоугольник просто разрежьте по диагонали и подавайте десерт к столу.
Рассчитайте вес торта из расчёта 100-150 гр на гостя. Если предполагается декор мастикой, не забывайте, что она очень тяжелая, поэтому тут лучше резать изделие на кусочки, весом не менее 200 гр.
Как нарезать торт необычной формы
Кондитерский мир все время совершенствуется, ежегодно появляются новые модные тренды, которые поражают и удивляют поклонников сладостей. И если раньше квадратный торт был пределом мечтаний, то сегодня можно встретить кондитерские изделия абсолютно немыслимых форм, изготовленных в виде:
Для того чтобы разделить кондитерское изделие на равные части, лучше всего воспользоваться диаграммами, на которых показана схема разрезания десерта. Например, торты в форме овала и сердца лучше всего разрезать по полосы нужного размера, затем разделить их на прямоугольники. Если же речь идет о кондитерских изделиях, выполненных в виде цветка и шестиугольника, то их удобнее всего резать методом «ромашка», о котором мы говорили ранее. Центральную часть можно разделить на 4, 6 и 8 частей, все зависит от размеров самого торта.
Как разделить торт на 8 равных частей тремя разрезами и еще 2 вопроса, которые заставят задуматься
Именно их задают работодатели на собеседованиях в такие знаменитые компании, как Google, Apple и многие другие. Постепенно этот тренд распространился, и теперь у вас есть шанс заполучить головоломку, придя на собеседование в одну из местных компаний.
Даже если вы делать этого и не станете, предлагаем в качестве эксперимента проверить, а смогли бы вы справиться с их задачками? Мы подготовили для вас 3, которые часто задают на собеседованиях.
Задачка №1. Как разделить торт на 8 равных частей тремя разрезами?
Задачка №3. Сколько теннисных мячей поместится в автобус?
На первый взгляд может показаться, что задания звучат странно и необычно, но в этом и суть. Вам нужно включить логику и смекалку, чтобы отыскать правильный ответ. Не спешите листать страничку ниже, если не хотите увидеть их раньше времени. Хорошенько подумайте, но не очень долго!
Готовы?
Определились с ответами?
Тогда рассказываем правду.
Ответ №1. Сначала нужно сделать два разреза крест-накрест, поделив торт на 4 равные части. Теперь же нужно разрезать торт горизонтально пополам. Да, кусочки получились невысокими, зато у вас 8 равных частей.
Ответ №2. За одно открытие. Нужно включить одновременно 2 выключателя, а через пару секунд выключить второй. Заходим в комнату: одна из лампочек осталась гореть — это первый выключатель, далее щупаем оставшиеся лампочки — теплая и будет вторым выключателем, а холодная — третьим.
Ответ №3. Конкретного ответа не существует, так как в условии не уточняется размер мячей и автобуса. Здесь работодатель будет следить за ходом ваших мыслей. Назовите примерные длину, ширину и высоту автобуса, размеры одного мяча, посчитайте объем автобуса и мяча, уменьшите примерно это значение с учетом разных деталей автобуса, сделайте поправку на то, что мячи не квадратные, и дайте ответ.
Как видите, эти задачки действительно тренируют мышление, а именно за ним и важно наблюдать рекрутам, которые хотят нанять на работу лучших. Тренируйте логику и смекалку! Удалось ли вам дать правильные ответы? Если да, то сколько? Расскажите в комментариях.
Как разделить торт на 8 равных частей тремя разрезами и еще 2 вопроса, которые заставят задуматься
Как разделить торт на 8 равных частей тремя разрезами и еще 2 вопроса, которые заставят задуматься
Современные работодатели стремятся быть оригинальными и находчивыми, чтобы заполучить себе в компанию лучших сотрудников.
Именно их задают работодатели на собеседованиях в такие знаменитые компании, как Google, Apple и многие другие. Постепенно этот тренд распространился, и теперь у вас есть шанс заполучить головоломку, придя на собеседование в одну из местных компаний.
Даже если вы делать этого и не станете, предлагаем в качестве эксперимента проверить, а смогли бы вы справиться с их задачками? Мы подготовили для вас 3, которые часто задают на собеседованиях.
Задачка №1. Как разделить торт на 8 равных частей тремя разрезами?
Задачка №3. Сколько теннисных мячей поместится в автобус?
На первый взгляд может показаться, что задания звучат странно и необычно, но в этом и суть. Вам нужно включить логику и смекалку, чтобы отыскать правильный ответ. Не спешите листать страничку ниже, если не хотите увидеть их раньше времени. Хорошенько подумайте, но не очень долго!
Готовы?
Определились с ответами?
Тогда рассказываем правду.
Ответ №1. Сначала нужно сделать два разреза крест-накрест, поделив торт на 4 равные части. Теперь же нужно разрезать торт горизонтально пополам. Да, кусочки получились невысокими, зато у вас 8 равных частей.
Ответ №2. За одно открытие. Нужно включить одновременно 2 выключателя, а через пару секунд выключить второй. Заходим в комнату: одна из лампочек осталась гореть — это первый выключатель, далее щупаем оставшиеся лампочки — теплая и будет вторым выключателем, а холодная — третьим.
Ответ №3. Конкретного ответа не существует, так как в условии не уточняется размер мячей и автобуса. Здесь работодатель будет следить за ходом ваших мыслей. Назовите примерные длину, ширину и высоту автобуса, размеры одного мяча, посчитайте объем автобуса и мяча, уменьшите примерно это значение с учетом разных деталей автобуса, сделайте поправку на то, что мячи не квадратные, и дайте ответ.
Как видите, эти задачки действительно тренируют мышление, а именно за ним и важно наблюдать рекрутам, которые хотят нанять на работу лучших. Тренируйте логику и смекалку! Удалось ли вам дать правильные ответы? Если да, то сколько? Расскажите в комментариях.
Как разделить круглый торт на 3 равные части
Русская Классическая Школа запись закреплена
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА. ЗАДАЧА ПРО ТОРТ
Автор этой симпатичной задачи — польский математик и популяризатор науки Гуго Штейнгауз. Мы немного переформулировали её — так, чтобы в ней было больше вопросов, а у наших читателей — больше возможностей проявить математическую смекалку. Предлагаем решить её взрослым участникам нашей группы и старшеклассникам. Ждём ваших размышлений, обсуждений и ответов в комментариях!
Павел и Гавел должны разделить между собой треугольный торт. Гавел поставил условие, что он прямолинейным разрезом отрежет свою часть, а Павел согласился на это с тем условием, что он заранее обозначит точку Р, через которую должен пройти этот разрез. Торт имеет одинаковую толщину.
Как Павел должен выбрать точку Р, чтобы лучше защитить себя от чревоугодия Гавела? Какой величины излишек перепадёт Гавелу, если Павел удачно решит первую задачу, а Гавел потом отрежет себе возможно большую часть торта?
Какая форма торта (при сохранении указанных в начале условий раздела) будет наиболее выгодна Павлу? Какую часть торта он сможет в этом случае получить, правильно выбрав точку Р?
Какая форма торта будет самой удобной для Гавела и какой наибольший излишек он сможет себе обеспечить, удачно выбрав форму торта?