как доказать что все диагонали пятиугольника равны

Правильный пятиугольник

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

Так как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A₂A₁A₅=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º. Поскольку все внешние углы правильного пятиугольника равны между собой, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (можно было внешний угол искать как смежный с внутренним).

Каждый центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A₁O A₂, равен

Как и любой другой правильный многоугольник, правильный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим пять равных равнобедренных треугольников.

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника, боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

Проведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A₁OA₅, то есть

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁OF.

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного пятиугольника окружности —

Подставив значение котангенса 36°, получаем:

Итак, формула радиуса вписанной в правильный пятиугольник окружности

можно найти площадь правильного пятиугольника. Здесь

Все диагонали правильного пятиугольника равны.

Источник

Доказательство равенства четырех диагоналей пятиугольника единице

1. Доказательство равенства четырех диагоналей пятиугольника единице

Определение 2.1.1. Диаметром d многоугольника М называется точная верхняя граница расстояний между его точками. [6, 68]

d=sup(X,Y)

ХM, УM

Теорема 2.1.1. Диаметр многоугольника равен расстоянию между некоторыми его вершинами.

Многоугольник М является ограниченной замкнутой областью. По теореме Вейерштрасса непрерывная функция (X,Y) достигает своего максимума в этой области. Иными словами существуют такие две точки А и В многоугольника, что:

(А, В) = sup (X, Y) = d.

ХM, УM

Отрезок АВ также будем называть диаметром многоугольника.

Ясно, что концы диаметра многоугольника должны находиться на его границе, при этом если хотя бы один из концов диаметра АВ не является вершиной многоугольника, то как видно из рисунка 2.1.1, один из отрезков K₁B, K₂B будет больше АВ (т.к. один из углов K₁АB, K₂АB не является острым), что невозможно.

Итак, диаметр многоугольника совпадает либо с одной из сторон, либо с одной из диагоналей многоугольника.

Определение 2.1.2. Выпуклый многоугольник диаметра 1 будем называть оптимальным, если его периметр больше периметра любого другого выпуклого многоугольника диаметра 1.

Теорема 2.1.2. Все стороны оптимального пятиугольника меньше 1.

Для доказательства теоремы потребуется следующая лемма.

Лемма 2.1.1. Сумма расстояний от точки дуги окружности до ее концов принимает наибольшее значение, когда эта точка делит дугу пополам.

Пусть Р – точка дуги окружности, точки F и M ее концы (рис. 2.1.2).

Из FPО и PОM получаем:

FP+PM=2 r sin + 2 r sin =2 r (sin+sin ) =

=2 r (2sincos),

и по симметрии можно считать, что

, т.е. .

Сумма FP+PMпринимает наибольшее значение, когда cos=1.

1 шестиугольника FСZМ₁N₁T, где C середина дуги (по лемме 2.1.1).

Таким образом, получаем: p 1 0 +1+ 3,0819428.

Рассмотрим второй случай, когда прямые PM, MN пересекают дугу окружности (рис. 2.1.4).

Из рисунка 2.1.4 видно, что периметр p рассматриваемого пятиугольника FPMNT меньше периметра P 2 пятиугольника FP₁М₁N₁T т.е.:

p 2 3 правильного пятиугольника равен:

P 3 = .

Таким образом, получаем, что периметр рассматриваемого пятиугольника FPMNT меньше периметра правильного пятиугольника диаметра 1.

Теорема 2.1.3. В оптимальном пятиугольнике, по крайней мере, три диагонали равны 1.

Пусть диагональ PT=1 (по теореме 2.1.2).

Проведем две окружности: (T, PT=1) и (P, PT=1) (рис. 2.1.5). Ясно, что все остальные вершины пятиугольника будут являться внутренними или граничными точками области ограниченной окружностями , и прямой РТ. Причем все три вершины не могут лежать по одну сторону от PT, т.к. PT это диагональ выпуклого пятиугольника (рис. 2.1.5).

Рассмотрим первый случай, когда прямая MN пересекает дуги обеих окружностей и (рис. 2.1.5).

Источник

Как доказать что диагонали правильного пятиугольника равны

Мы уже писали, что пифагорейцы рассматривали мир как устроенный по законам числовой гармонии. Они обнаружили, что восприятие гармонии в музыке связано с некоторыми отношениями между числами (см. Гармония Пифагора); но и зрительная гармония, оказывается, тоже связана с определенными соотношениями различных отрезков. В этом плане наиболее знаменито золотое сечение — такой способ деления отрезка на две неравные части, при котором весь отрезок относится к большей части, как большая к меньшей:

Золотое сечение часто использовалось древнегреческими архитекторами и скульпторами. Например, оно многократно встречается в пропорциях знаменитого афинского храма Парфенон, построенного Фидием: в частности, отношение ширины фасада Парфенона к его высоте равно золотому сечению.

Скульптор Поликлет разработал идею канона (правила) для изображения пропорционального человеческого тела и наглядно воплотил свой канон в статуе «Дорифор» («Копьеносец»), иначе называвшейся просто «Канон». В пропорциях статуи в изобилии присутствует золотое сечение. Например, отношение высот нижней и верхней частей, на которые статую делит пупок, равно золотому сечению; в свою очередь, основание шеи делит верхнюю часть также в золотом сечении; колени делят нижнюю часть в золотом сечении, и т. д.

Рис. 2. «Дорифор» Поликлета

В эпоху Возрождения у ученых и художников возник новый интерес к золотому сечению. Итальянский математик Лука Пачоли посвятил ему книгу «Божественная пропорция». А его другу — великому Леонардо да Винчи — принадлежит сам термин «золотое сечение» (древние обычно называли его «делением отрезка в крайнем и среднем отношении»). «Золотое сечение» нередко встречается в произведениях Рафаэля, Микеланджело, Дюрера.

Иоганн Кеплер, не чуждый пифагорейским представлениям о лежащей в основе Вселенной числовой гармонии, говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами — теоремой Пифагора и золотым сечением; первую можно сравнить с мерой золота, второе же — с драгоценным камнем.

Экспериментально доказано, что, например, из прямоугольников с различными отношениями сторон человеческий глаз предпочитает те, в которых это отношение равно золотому сечению. Листы бумаги, плитки шоколада, кредитные карточки и т. д. очень часто делают в форме именно таких прямоугольников.

Чтобы разделить данный отрезок AB в пропорции золотого сечения, нужно восстановить через один из его концов, скажем, через точку B, перпендикуляр, отложить на нем отрезок BD = AB/2, провести отрезок AD, отложить на нем отрезок DE = AB/2 и, наконец, отметить на отрезке AB точку C такую, что AC = AE. Точка C и будет делить отрезок AB в золотом сечении.

Рис. 3. Деление отрезка в пропорции золотого сечения

Докажем это. По теореме Пифагора (AE + ED)2 = AB2 + BD2, или

AE2 + 2AE ∙ ED + ED2 = AB2 + BD2, а поскольку BD = DE = AB/2 и AE = AC, то

откуда AC2 = AB (AB — AC).

Так как AB — AC = BC, то имеем

AC2 = AB ∙ BC, откуда

Приведенное построение позволяет найти числовое значение золотого сечения. Оно равно отношению всего отрезка AB к отрезку

Таким образов, золотое сечение выражается числом Это число приблизительно равно 1,618. Часто оно называется числом Фидия и обозначается греческой буквой Φ:

Пусть два отрезка относятся в золотом сечении:

= Φ. Поскольку для них тогда выполняется формула получается, что Φ удовлетворяет равенству или Действительно, нетрудно проверить, что Число иногда называют малым числом Фидия (а Φ тогда — большим числом Фидия) и обозначают φ. Оно приблизительно равно 0,618.

Золотое сечение выражается иррациональным числом. Это следует из иррациональности (если бы золотое сечение было рациональным, то и число = 2Φ — 1 тоже было бы рациональным), а иррациональность можно доказать аналогично иррациональности Кроме того, иррациональность Φ довольно просто показать с помощью геометрической иллюстрации алгоритма Евклида. Пусть мы имеем прямоугольник a1 × a2, стороны которого относятся в золотом сечении. Отложив на большей стороне меньшую, мы получим квадрат, а оставшийся прямоугольник будет подобен исходному прямоугольнику: Применив к нему ту же операцию, мы снова получим квадрат и прямоугольник, подобный исходному, и т. д. (Интересно, что первый, третий, пятый и т. д. прямоугольники имеют общую диагональ, как и второй, четвертый, шестой и т. д.; эти две диагонали пересекаются под прямым углом в точке, которая принадлежит всем прямоугольникам).

Рис. 4. Иррациональность числа Фидия — отрезки, относящиеся друг к другу в золотом сечении, несоизмеримы

Поскольку этот алгоритм никогда не закончится, у отрезков a1 и a2 нет общей меры. Кеплер говорил, что золотое сечение постоянно воспроизводит само себя. Оно нередко встречается в живой природе в строении таких организмов, части которых приблизительно подобны целому — например, в раковинах, в расположении листьев на побегах и т. д.

Наконец, золотое сечение позволяет построить правильный пятиугольник. (Правильные трех- и четырехугольник вы умеете строить и без подсказки, не так ли? Описывая вокруг них окружности и деля стороны пополам, нетрудно построить правильные многоугольники с 2n и с 3 ∙ 2n вершинами). Если продлить стороны правильного пятиугольника до точек пересечения с продолжениями смежных сторон, получится красивая пятиконечная звезда. Это древний мистический символ, популярный, в частности, у пифагорейцев: он называется «пентаграмма» или «пентальфа», то есть, дословно, «пять букв» или «пять альф» — в нем усматривали соединение пяти букв «альфа» (А). Пентаграмма считалась символом здоровья — гармонии в человеке — и служила у пифагорейцев опознавательным знаком. (Например, когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не имел денег, чтобы заплатить человеку, ухаживавшему за ним до самой его кончины, то велел изобразить пентаграмму на двери своего жилища. Спустя несколько лет другой пифагореец увидел этот знак и хозяин получил щедрое вознаграждение). Оказывается, что в пентаграмме различные линии делят друг друга в отношении золотого сечения. В самом деле, треугольники ACD и ABE подобны, AB : AC = AE : AD. Но AD = BC, а AE = AC, и поэтому AB : AC = AC : BC. Получается, что любой из 10 отрезков внешнего контура звезды относится в золотом сечении к любому из 5 отрезков, образующих маленький внутренний пятиугольник.

Рис. 6. Лучи звезды и стороны внутреннего пятиугольника относятся в золотом сечении

Между прочим, из подобия тех же треугольников ACD и ABE следует, что треугольник ACD равнобедренный и CD = AD. Значит, диагональ правильного пятиугольника относится к его стороне тоже в золотом сечении. Все пять диагоналей правильного пятиугольника образуют еще одну пентаграмму, в которой снова повторяются все соотношения.

Рис. 7. Золотое сечение в последовательно вписанных пятиугольниках

Если нужно построить правильный пятиугольник со стороной a1, то надо разделить отрезок a1 в золотом сечении на отрезки a2 и a3, затем построить равнобедренный треугольник со сторонами a1, a1 и (a1 + a2). Два отрезка длины a1 составят две стороны искомого пятиугольника, а отрезок длиной a1 + a2 = a1/Φ — его диагональ. С помощью построения других треугольников не составляет труда найти и оставшиеся вершины пятиугольника.

В средние века пентаграмма служила символом Венеры: эта планета приближается к Земле в пяти точках, образующих пятиугольник.

Модель 1. Орбита Венеры в системе координат Земли

Равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны относятся к основанию в золотом сечении — например, треугольник, образуемый двумя диагоналями и стороной правильного пятиугольника — обладает еще одним интересным свойством: биссектрисы его углов при основании равны самому основанию.

Свойство равнобедренного треугольника, боковые стороны которого

относятся к основанию в золотом сечении

Такой треугольник часто встречается в композиции различных художественных произведений — например, в знаменитой «Джоконде» Леонардо да Винчи.

Рис. 9. Золотое сечение в «Джоконде» Леонардо да Винчи

Источник

Как доказать что все диагонали пятиугольника равны

Мы уже писали, что пифагорейцы рассматривали мир как устроенный по законам числовой гармонии. Они обнаружили, что восприятие гармонии в музыке связано с некоторыми отношениями между числами (см. Гармония Пифагора); но и зрительная гармония, оказывается, тоже связана с определенными соотношениями различных отрезков. В этом плане наиболее знаменито золотое сечение – такой способ деления отрезка на две неравные части, при котором весь отрезок относится к большей части, как большая к меньшей:

Золотое сечение часто использовалось древнегреческими архитекторами и скульпторами. Например, оно многократно встречается в пропорциях знаменитого афинского храма Парфенон, построенного Фидием: в частности, отношение ширины фасада Парфенона к его высоте равно золотому сечению.

Скульптор Поликлет разработал идею канона (правила) для изображения пропорционального человеческого тела и наглядно воплотил свой канон в статуе «Дорифор» («Копьеносец»), иначе называвшейся просто «Канон». В пропорциях статуи в изобилии присутствует золотое сечение. Например, отношение высот нижней и верхней частей, на которые статую делит пупок, равно золотому сечению; в свою очередь, основание шеи делит верхнюю часть также в золотом сечении; колени делят нижнюю часть в золотом сечении, и т. д.

В эпоху Возрождения у ученых и художников возник новый интерес к золотому сечению. Итальянский математик Лука Пачоли посвятил ему книгу «Божественная пропорция». А его другу – великому Леонардо да Винчи – принадлежит сам термин «золотое сечение» (древние обычно называли его «делением отрезка в крайнем и среднем отношении»). «Золотое сечение» нередко встречается в произведениях Рафаэля, Микеланджело, Дюрера.

Иоганн Кеплер, не чуждый пифагорейским представлениям о лежащей в основе Вселенной числовой гармонии, говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением; первую можно сравнить с мерой золота, второе же – с драгоценным камнем.

Экспериментально доказано, что, например, из прямоугольников с различными отношениями сторон человеческий глаз предпочитает те, в которых это отношение равно золотому сечению. Листы бумаги, плитки шоколада, кредитные карточки и т. д. очень часто делают в форме именно таких прямоугольников.

Приведенное построение позволяет найти числовое значение золотого сечения. Оно равно отношению всего отрезка к отрезку

Таким образов, золотое сечение выражается числом Это число приблизительно равно 1,618. Часто оно называется числом Фидия и обозначается греческой буквой Φ:

Φ =

Пусть два отрезка относятся в золотом сечении: = Φ. Поскольку для них тогда выполняется формула получается, что Φ удовлетворяет равенству или Действительно, нетрудно проверить, что Число иногда называют малым числом Фидия (а Φ тогда – большим числом Фидия) и обозначают φ. Оно приблизительно равно 0,618.

Поскольку этот алгоритм никогда не закончится, у отрезков ₁ и ₂ нет общей меры. Кеплер говорил, что золотое сечение постоянно воспроизводит само себя. Оно нередко встречается в живой природе в строении таких организмов, части которых приблизительно подобны целому – например, в раковинах, в расположении листьев на побегах и т. д.

Если нужно построить правильный пятиугольник со стороной ₁, то надо разделить отрезок ₁ в золотом сечении на отрезки ₂ и ₃, затем построить равнобедренный треугольник со сторонами ₁, ₁ и (₁ + ₂). Два отрезка длины ₁ составят две стороны искомого пятиугольника, а отрезок длиной ₁ + ₂ = ₁/Φ – его диагональ. С помощью построения других треугольников не составляет труда найти и оставшиеся вершины пятиугольника.

В средние века пентаграмма служила символом Венеры: эта планета приближается к Земле в пяти точках, образующих пятиугольник.

Равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны относятся к основанию в золотом сечении – например, треугольник, образуемый двумя диагоналями и стороной правильного пятиугольника – обладает еще одним интересным свойством: биссектрисы его углов при основании равны самому основанию.

Такой треугольник часто встречается в композиции различных художественных произведений – например, в знаменитой «Джоконде» Леонардо да Винчи.

Источник

• ← как доказать что временная регистрация не фиктивная
• как доказать что вы не брали кредит в мфо →