как доказать что отрезок является средней линией треугольника
Средняя линия треугольника
Теорема
| Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. |
Доказательство
Доказать: МЕ
АС, МЕ = 
АС.
Доказательство:
В треугольниках МВЕ и АВС:
Следовательно, треугольники МВЕ и АВС подобны (по 2 признаку подобия треугольников), поэтому 
1 =2 и 
.
Из равенства следует, что МЕ = АС. Теорема доказана.
Задача:
Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Доказать: АА1
ВВ1СС1 = О, АО : ОА1 = ВО : ОВ1 = СО : ОС1 = 2 : 1.
Доказательство:
. (1)
.
Следовательно, точка О, в которой пересекаются медианы АА1 и ВВ1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, значит, совпадает с точкой О.
Итак, все три медианы 
АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины. Что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Средняя линия треугольника
Определение 1. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон.
 |
У треугольника три средние линии. На Рис.1 отрезки MN, NP, MP являются средними линиями треугольника.
Теорема 1. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Доказательство. Пусть MN средняя линия треугольника ABC (Рис.2). Докажем, что \( \small MN || AC, \) \( \small MN=\frac12 AC. \)
 |
Далее, поскольку точка M является серединой отрезка AB, имеем : AM=MB. Но \( \small MB=CP \) и, следовательно AM = CP. Получили что в четырехугольнике AMPC стороны AM и CP параллельны и равны. Тогда по признаку 1 статьи Параллелограмм четырехугольник AMPC является параллелограммом. Отсюда следует, что MP || AC или MN ||AC.
Остается показать, что \( \small MN=\frac12 AC. \) Так как MN=NP, то \( \small MN=\frac12 MP. \) Но в параллелограмме MP = AC. Тогда \( \small MN=\frac12 AC. \)
Средняя линия треугольника
Вы будете перенаправлены на Автор24
Понятие средней линии треугольника
Введем понятие средней линии треугольника.
Рисунок 1. Средняя линия треугольника
Теорема о средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.
Доказательство.
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Теорема доказана.
Следствия из теоремы о средней линии треугольника
Рисунок 3. Иллюстрация следствия 1
Готовые работы на аналогичную тему
Аналогично доказывается, что
Теорема доказана.
Рисунок 4. Иллюстрация следствия 2
Теорема доказана.
Примеры задачи на понятие средней линии треугольника
Решение.
Решение.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2021
Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.
Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.
Определение и признаки средней линии треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.
Доказательство следует из теоремы Фалеса.
Теорема о средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.
Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.
Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.
По определению, MN – средняя линия ΔABC.
Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.
Доказательства
Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.
Следовательно, MN II AC.
Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.
Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.
Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,
По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.
Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.
Формула MN = ½AC следует из условий
поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.
Рассматривается сумма векторов
Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то
Отсюда следует, что
Из последнего равенства следуют условия теоремы.
Следствия из теоремы с доказательствами
Следствие №1
Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.
По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому
Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.
Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как
Следствие №2
Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.
Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.
Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.
Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.
Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.
Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.
По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.
Свойства средней линии треугольника
Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.
Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.
Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.
Средняя линия прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.
Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.
Пример решения задачи
Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.
Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.
Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.
Средняя линия треугольника — свойства, признаки и формулы
Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.
Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.
Определение и признаки средней линии треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.
Доказательство следует из теоремы Фалеса.
Теорема о средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.
Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.
Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.
По определению, MN – средняя линия ΔABC.
Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.
Доказательства
Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.
Следовательно, MN II AC.
Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.
Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.
Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,
По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.
Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.
Формула MN = ½AC следует из условий
поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.
Рассматривается сумма векторов
Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то
Отсюда следует, что
Из последнего равенства следуют условия теоремы.
Следствия из теоремы с доказательствами
Следствие №1
Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.
По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому
Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.
Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как
Следствие №2
Три средних линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника, подобные заданному, с коэффициентом подобия ½.
Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.
Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.
Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.
Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.
Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.
Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.
По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.
Свойства средней линии треугольника
Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.
Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.
Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.
Средняя линия прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.
Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.
Пример решения задачи
Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.
Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.
Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.