как доказать что дробь несократима

Сократимые и несократимые дроби, определения, примеры.

В этой статье мы разберем сократимые и несократимые дроби. Здесь мы дадим определения и приведем примеры сократимых и несократимых дробей, а также рассмотрим способ, позволяющий выяснить, является ли данная дробь сократимой или нет.

Навигация по странице.

Сократимые и несократимые дроби, определения, примеры

Все обыкновенные дроби подразделяются на сократимые дроби и несократимые дроби. Такое разделение дробей связано с наличием или отсутствием отличных от единицы положительных общих делителей их числителя и знаменателя.

Дадим определения сократимых и несократимых дробей, чтобы все стало понятно.

Сократимая обыкновенная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют положительный общий делитель, отличный от единицы.

Несократимая обыкновенная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют единственный общий положительный делитель – единицу, то есть, являются взаимно простыми числами.

Сократима ли данная дробь?

Определения сократимой и несократимой дроби, приведенные в предыдущем пункте, не позволяют в общем случае с первого взгляда на дробь ответить на вопрос: «Данная дробь сократимая или несократимая»?

Несомненно, в самых простых случаях признаки делимости позволяют сразу увидеть положительный общий делитель числителя и знаменателя, отличный от единицы, откуда можно делать вывод о сократимости данной дроби.

Разберем применение этого правила при решении примера.

В заключение заметим, если в результате каких-либо вычислений получилась дробь, то ее принято записывать в несократимом виде. Иными словами, если получилась сократимая дробь, то нужно провести сокращение дроби.

Источник

Сократимые дроби

Вы будете перенаправлены на Автор24

Сократимые и несократимые дроби

Все обыкновенные дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Такое разделение дробей зависит от наличия или отсутствия общих делителей числителя и знаменателя, отличных от единицы.

Правила проверки дроби на сократимость

В самых простых случаях проверить дробь на сократимость можно с помощью признаков делимости.

Готовые работы на аналогичную тему

Правило проверки обыкновенной дроби на сократимость

Вычислить наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя данной дроби:

Решение.

НОД вычислим по алгоритму Евклида:

Сокращение дробей

Чтобы сократить дробь, нужно ее числитель и знаменатель разделить на их общий положительный отличный от единицы делитель. В результате сокращения дроби получают новую дробь, равную исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду

Таким образом, для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Под фразой «сократите дробь» чаще всего подразумевают приведение исходной дроби к несократимому виду. Т.е. именно деление числителя и знаменателя на их НОД, а не деление на любой их общий делитель.

Правило сокращения дробей

Найти НОД числителя и знаменателя дроби.

Разделить числитель и знаменатель дроби на их НОД, в результате чего получают несократимую дробь, равную исходной.

Решение.

Воспользуемся правилом сокращения дробей:

Наиболее удобным является алгоритм Евклида:

\[231=187\cdot 1+44\]\[187=44\cdot 4+11\]\[44=11\cdot 4\]

Таким образом, НОД($187, 231)=11$.

Иногда для сокращения дробей (в более простых случаях) применяют способ \textit<разложения дроби на простые множители>, после чего убираются все общие множители из числителя и знаменателя. Этот способ вытекает из правила сокращения дробей, т.к. НОД равен произведению всех общих простых множителей числителя и знаменателя.

Решение.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе (для удобства их часто зачеркивают):

Решение.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 21 06 2021

Источник

Сократимые и несократимые дроби.

Дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Рассмотрим подробнее какую дробь называются сократимой и какую дробь называют несократимой.

Сократимая дробь, определение и примеры.

Определение:
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель не равный нулю и единице.

Например:
Докажите, что дробь \(\frac<20><35>\) является сократимой.

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители, найдем их наибольший общий делитель (НОД).
20=2⋅2⋅5
35=5⋅7

Так как у числителя и знаменателя повторяется множитель 5, это число и будет их наибольшим общим делителем.
НОД(20, 35)=5
Сократим дробь на НОД.

Из сократимой дроби \(\frac<20><35>\) получили несократимую дробь \(\frac<4><7>\).

Несократимая дробь, определение и примеры.

Какие же дроби несократимые или что значит несократимая дробь? Ответ на вопрос кроется в определении.

Определение:
Несократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель равный единице, то есть числитель и знаменатель являются взаимно-простыми числами.

Рассмотрим пример:
Докажите, что дробь \(\frac<137><149>\) является несократимой дробью.

Решение:
Число 137 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
Число 149 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
У числителя 137 и знаменателя 149 нет общих делителей, поэтому дробь \(\frac<137><149>\) является несократимой.

Правило несократимой дроби.

Пример:
Запишите сократимую дробь в виде несократимой обыкновенной дроби \(\frac<55><100>\).

Решение:
По правилу несократимой дроби распишем числитель и знаменатель на простые множители.
55=5⋅11
100=5⋅2⋅2⋅5
Видим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель равный 5, поэтому сокращаем дробь на 5.

Ответ: получили несократимую дробь \(\frac<11><20>\).

Неправильные сократимые и несократимые дроби.

Чтобы перевести неправильную сократимую дробь в неправильную несократимую дробь, мы пользуемся теми же правилами, что и для правильной сократимой дроби. Рассмотрим пример:

Запишите неправильную сократимую дробь в виде неправильной несократимой дроби \(\frac<32><20>\).

Решение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители.
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2
20=5⋅2
Общий множитель у числителя и знаменателя равен 2. Распишем

Ответ: получили несократимую неправильную дробь \(\frac<16><5>\).

Вопросы по теме:
Как узнать сократима ли дробь?
Ответ: чтобы узнать сократима ли дробь для начала нужно расписать числитель и знаменатель на простые множители, а потом посмотреть если у них общие множители, если есть, то дробь сократима, иначе – несократима. Рассмотрим пример.

Определите сократима ли дробь \(\frac<16><25>\).

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители.
16=2⋅2⋅2⋅2
25=5⋅5
Видно, что у числителя и знаменателя нет общих множителей (одинаковых множителей), следовательно, дробь несократима.

Пример:
Сколько несократимых правильных дробей: а) \(\frac<8><25>\) б) \(\frac<6><4>\) в) \(\frac<13><5>\) г) \(\frac<36><44>\).

Решение:
а) У числителя и знаменателя дроби \(\frac<8><25>\) (8=2⋅2⋅2, 25=5⋅5) нет общих множителей, поэтому это правильная несократимая дробь. По условию это дробь нам подходит.

б) У числителя и знаменателя дроби \(\frac<6><4>\) (6=2⋅3, 4=2⋅2, \(\frac<6><4>=\frac<2 \times 3><2 \times 2>=\frac<3><2>\) ) есть общий множитель равный 2, поэтому это дробь сократимая и еще неправильная, потому что числитель больше знаменателя. По условию задания эта дробь нам не подходит.

в) Числитель и знаменатель дроби \(\frac<13><5>\), 5 и 13 простые числа, поэтому общих множителей кроме 1 у них нет, дробь несократимая. Так как числитель больше знаменателя дробь неправильная, поэтому по условию задания нам она не подходит.

г) Числитель и знаменатель дроби \(\frac<36><44>\) (36=2⋅2⋅3⋅3, 44=2⋅2⋅11) имеют общий множитель равный 4, поэтому дробь \(\frac<36><44>=\frac<4 \times 9><4 \times 11>=\frac<9><11>\) является сократимой, правильной. Нам по условию задания не подходит.

Ответ: \(\frac<8><25>\) несократимая, правильная дробь.

Пример:
Сколько имеется правильных несократимых дробей со знаменателем: а) 145 б) 123 в) 133 г) 115.

Решение:
а) Распишем на простые множители знаменатель 145:
145=5⋅29
Нужно исключить все числа от 1 до 144 кратные 5 и 29.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140.
На 29 делится: 29, 58, 87, 116.
В сумме получаем 32 числа, которые имеют общий множитель с число 145. Всего у нас чисел 144.
144-32=112
Ответ: 112 правильных несократимых дробей со знаменателем 145.

б) Распишем на простые множители знаменатель 123:
123=3⋅41
В диапазоне чисел от 1 до 122 исключаем числа кратные 3 и 41.
На число 3 делится, поэтому не могут находиться в числителе: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120.
На 41 делится: 41, 82.
В сумме получаем 40+2=42 числа, которые имеют общий множитель с число 123, поэтому мы их исключим. Всего у нас чисел 122.
122-42=80
Ответ: 80 правильных несократимых дробей со знаменателем 123.

в) Распишем на простые множители знаменатель 133:
133=7⋅19
Числа от 1 до 132 исключаем, они делятся на 7 и 19, для того чтобы получить все несократимые дроби от \(\frac<1><133>\) до \(\frac<132><133>\).
Число 7 кратно: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126. Всего 18 чисел.
Число 19 кратно:19, 38, 57, 76, 95, 114. Всего 6 чисел.
132-18-6=108
Ответ: 108 правильных несократимых дробей со знаменателем 133.

г) Распишем на простые множители знаменатель 115:
115=5⋅23
Числа от 1 до 114 исключаем.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110. Всего 22 числа.
На 23 делится число: 23, 46, 96, 92. Всего 4 чисел.
114-22-4=88
Ответ: 88 правильных несократимых дробей со знаменателем 115.

Нестандартная задача по математике:
Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?

Ответ: когда сократимая обыкновенная дробь является номером углового дома или квартала.

Источник

Математика. 5 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

– числитель, знаменатель обыкновенной дроби;

– сократимая, несократимая дробь;

– основное свойство дроби.

Дробь в математике – это число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Правильные дроби – это дроби, в которых числитель меньше знаменателя.

Несократимая дробь – это дробь, в которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель – 1).

Сократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице.

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Все, что без этого было темно, сомнительно и неверно, математика сделала ясным, верным и очевидным», – сказал Михаил Васильевич Ломоносов.

Эти слова как нельзя кстати походят к теме нашего занятия, на котором мы будем устанавливать между, казалось бы, разными дробями равенство, хоть и не вполне очевидное с первого взгляда.

Итак, выясним, какие дроби можно назвать равными.

Для начала нарисуем отрезок. Далее разделим его на две части. Затем каждую из половинок разделим ещё на две части.

Получается, что весь отрезок поделён на четыре части. Если теперь сложить две части из четырёх, то получится ровно половина отрезка, которая в виде обыкновенной дроби будет записана как одна вторая.

Получается, что одна вторая это тоже самое, что и две четвёртых, т. е. это равные дроби.

Возьмём торт и разделим его на 10 частей.

Половина торта – это 5 частей. В виде обыкновенной дроби получается, что частям торта. Отсюда получается так называемое основное свойство дроби, которое заключается в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

С помощью этого свойства всегда получаются равные дроби. Например,

Аналогично, представим семь в виде дроби:

Если возьмём число один, представим его в виде дроби, то получим:

Получается, что две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.

Это свойство можно применить и в обратном порядке, в этом случае говорят, что дробь можно сократить. Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, то дробь можно сократить на этот множитель, т. е. разделить на него числитель и знаменатель.

В этом случае тоже получается равная дробь. Такие дроби называются сократимыми.

Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице. Например,

Рассмотрим ещё один пример, возьмём дробь :

Стоит отметить, что общий множитель числителя и знаменателя можно найти как их НОД. Например,

Стоит отметить, что сокращать дроби можно постепенно, эти действия всё равно приведут к нужному результату.

Но дроби не всегда можно сократить.

Если числитель и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель – 1), то такая дробь называется несократимой.

Например, ; – несократимые дроби.

Решим задание, связанное с сокращением дробей.

Укажите все общие делители, НОД числителя и знаменателя дроби и сократите дробь.

Решение: начнём с того, что определим общие делители числителя и знаменателя дроби, разложив их на множители:

Источник

Сокращение дробей: правила и примеры

Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

Что такое «сокращение дробей»

В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

Приведение дробей к несократимому виду

Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

Приведение дроби к несократимому виду

Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

Правило сокращения дробей

Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

Правило сокращения дробей

Чтобы сократить дробь нужно:

Рассмотрим практические примеры.

Пример 1. Сократим дробь.

Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

Пример 2. Сократим дробь

Для этого представим исходную дробь в виде:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

Пример 3. Сократим дробь

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:

Источник