как доказать что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны

Биссектрисы углов параллелограмма

Какими свойствами обладают биссектрисы углов параллелограмма? Для биссектрис углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, и для биссектрис противолежащих углов эти свойства разные.

Свойство биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF биссектриса ∠BAD,

DK- биссектриса ∠ADC,

1) ∠BAD+∠ADC=180º (как внутренние односторонние углы при AB ∥ CD и секущей AD).

2) Так как биссектриса угла делит его пополам, то

4) Рассмотрим треугольник ADM. Так как сумма углов треугольника равна 180º, то

90º+∠AMD=180º, откуда ∠AMD=180º- 90º=90º,

то есть биссектрисы углов параллелограмма, прилежащие к стороне AD, перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.

В следующий раз рассмотрим свойство биссектрис противолежащих углов параллелограмма.

Источник

Биссектриса параллелограмма — свойства, признаки и теоремы

Аксиома параллельности прямых, которая приведена Евклидом в книге «Начала», служит основой для доказательства многих свойств биссектрисы параллелограмма. О них знали пифагорейцы. Но понятие о самой фигуре ввел именно Евклид. Она представляет собой четырехугольник с параллельными противоположными сторонами.

Равнобедренный треугольник в параллелограмме

Биссектриса параллелограмма может быть проведена из вершины острого или тупого угла фигуры. Доказательство теоремы о равнобедренности образуемых прямой треугольников в этих случаях имеет аналогичный порядок. Чтобы доказать утверждение, нужно знать признак равнобедренности треугольника:

С помощью аналогичных рассуждений можно доказать, что биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки и отсекает от него равнобедренный треугольник.

Точка пересечения прямых

Согласно свойству, проведенные из смежных углов параллелограмма биссектрисы пересекаются в точке на противоположной стороне, если она в 2 раза больше меньшей. Доказать это утверждение можно следующим способом:

Доказательство свойства позволяет предположить, что биссектрисы смежных углов пересекаются внутри либо вне параллелограмма. При этом одна сторона больше или меньше половины другой. Если ее величина больше половины соседней, значит прямые пересекутся внутри фигуры.

Биссектрисы, проведенные через смежные углы, пересекаются с продолжением противоположных сторон параллелограмма в вершинах ромба. В зависимости от величины другой стороны, ромб совпадает с ним либо обладает большим или меньшим периметром. Если частить с построением этой фигуры, то длины сторон параллелограмма будут бесконечными.

Свойства односторонних углов

Параллелограмм АВСД имеет смежные углы при параллельных прямых АВ и СД, обозначенные а1 и а2. Для доказательства теоремы о перпендикулярности биссектрис нужно знать свойства смежных углов, сумма которых равна 180 градусам.

Поскольку биссектрисы можно провести внутри острого или тупого угла параллелограмма, то величину смежного с ним внешнего угла можно сложить, получив 180 градусов. Если обозначить их через АО и ДЕ, то углы ОАВ и ЕДС будут равны половинам а1 и а2 соответственно. Так как а1 + а2 = 180, то (а1 + а2) / 2 = 90, значит АО и ДЕ образуют прямой угол АКД.

Применять свойство биссектрис можно при нахождении периметра фигуры. Должны быть известны данные о соотношениях или длинах отрезков, образованных при пересечении противолежащей стороны биссектрисой. Например, она делит на отрезки ВК и КС сторону параллелограмма ABCD, величины которых известны.

Формула определения периметра будет иметь вид: P=2 (n+n+m). Где ВС=BК+КC=n+m, а АВ=ВК=n по свойству биссектрисы. С учетом признака равнобедренности треугольника можно построить эту прямую, дополнив рисунок фигуры без транспортира с помощью циркуля.

Противолежащие углы и биссектрисы

Согласно свойству параллельных прямых, биссектрисы a и b проходят параллельно друг другу. Они образуют внутри фигуры со сторонами mnkp другой параллелограмм, следовательно, он обладает параллельными противоположными сторонами. Прямые, на которых они лежат, соответствуют сторонам исходной фигуры, поэтому ее биссектрисы a и b являются равными.

Углы, которые образованы отрезками a и m, а также b и k, согласно свойствам биссектрис и параллелограммов, равны. Противолежащие равные по величине углы, образованные отрезками mp и nk, можно разделить пополам. Прямая b, пересекающая отрезки n и p, образует с ними накрест лежащие углы, признак которых состоит в их равенстве. Они равны разделенным пополам противоположным и являются соответственными при параллельных прямых n и p.

Вершины образуемого прямоугольника

Биссектрисы параллелограмма пересекаются в точках, представляющих собой вершины прямоугольника, что можно доказать следующим образом:

Аналогичным способом можно доказать параллельность других сторон прямой СД. Следовательно, диагональ КР образованного биссектрисами параллелограмма прямоугольника КМРО содержит точки Х и Т. Доказательство предполагает следующее равенство: КР = КХ + ХТ + ТР = ХС + СД + ТД = ВС + СД, поэтому величина диагонали равна сумме двух смежных сторон параллелограмма.

Ромб и его диагонали

Параллелограмм, имеющий биссектрису, которая совпадает с его диагональю, представляет собой ромб. Чтобы доказать это, нужно провести диагональ AC, соединяющую противоположные вершины ABCD. Способ доказательства теоремы основан на равенстве противолежащих углов параллелограмма.

Согласно свойству биссектрисы, отрезок АС делит пополам углы BCD и BAD. Они имеют одинаковую величину, поскольку противоположные углы равны. Диагональ АС — основание треугольников ACB и ACD. Согласно признаку равнобедренности АВ и АС, а также AD и CD, равны между собой. По свойству равенства противоположных сторон параллелограмма AB = CD и AD = BC.

Фигура ABCD, представляющая собой по условию параллелограмм, имеет равные по величине AB, AD, BC и CD в соответствии с доказательством. Отсюда следует, что параллелограмм ABCD по определению ромб. В нем биссектриса АС — это его диагональ.

Примеры решения задач

Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересеклись в точке на его противолежащей стороне. Зная его меньшую сторону, можно найти большую, а также наоборот. Допустим, что длина меньшей стороны фигуры составляет 5 сантиметров.

Обозначив вершины фигуры A, B, C, D, а точку на AD буквой Р, достаточно иметь в виду, что AD=AР+РD=AB+CD. Это доказывает признак равенства накрест лежащих углов СВР и АРВ, а также ВСР и СРD при параллельных прямых. Формула для нахождения большей стороны будет иметь вид: AD=2AB=10, поскольку AB = CD. При необходимости найти меньшую можно по формуле: AD=AB/2.

По условию задачи биссектриса, исходящая из острого угла параллелограмма, разделяет его противоположную сторону на отрезки 73 мм и 54 мм, если считать от вершины тупого угла. Требуется вычислить периметр параллелограмма ABCD. Точка Е делит сторону ВС на отрезки заданной длины, поскольку АЕ — биссектриса угла ВАD. Эта прямая представляет собой секущую для параллельных AD и BC.

Отсекая равнобедренный треугольник АВЕ, биссектриса ВЕ является его основанием, поэтому сторона параллелограмма АВ равна отрезку ВЕ, длина которого по условию 73 мм. В сумме ВЕ и ЕС равны ВС, что составляет 127 мм. Отсюда периметр ABCD соответствует удвоенной сумме его сторон: Р = 2 (73+127) = 400 мм. Чтобы найти большую сторону параллелограмма ABCD при известном периметре 128 мм, можно использовать аналогичное доказательство равнобедренности треугольника.

По условию соотношение отрезков, образуемых точкой пересечения биссектрисы DЕ с противоположной стороной ВС, равно 4:3, если считать от острого угла при вершине А. Из равенства противоположных сторон ABCD и признака равнобедренного треугольника следует AD=BC=АЕ=4х, а ЕВ=3х, поэтому CD=АЕ+ЕВ=4х+3х=7х. Зная периметр ABCD, можно составить уравнение Р=2 (7х+4х)=128. Отсюда 22х=128, а х=32, поэтому большая сторона параллелограмма CD=32*7=224 мм.

Источник

Отчет по творческому этапу Задача 1

Главная > Отчет

Отчет по творческому этапу

Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках M и N. Докажите, что AMN – равнобедренный.

Оригамское решение – исследование.

1.С помощью сгибов построим А (рис.1) и проведем биссектрису этого угла. С помощью сгиба проведем прямую, перпендикулярную к биссектрисе А (рис.2). С помощью сгиба по биссектрисе угла убеждаемся, что точки M и N совпадают, т. е. Отрезок АN совпадает с отрезком АМ. Следовательно, AMN – равнобедренный.

2. Вывод: для того, чтобы доказать, что AMN – равнобедренный, нужно обосновать совпадение отрезков АN и АМ.

3. Математическое обоснование.

Дано: А, АК – биссектриса, MNАК.

Доказать: AMN – равнобедренный.

Доказательство: т. к. АК – биссектриса, то NAK = MАK, AK – общая, (MNАК, то NAK и

 MАK – прямоугольные)  NAK = MАK (по катету и прилежащему острому углу) 

NA = MА  AMN – равнобедренный.

Две прямые пересечены секущей. Докажите, что:

а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны;

б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

а) 1. Оригамское решение – исследование.

С помощью сгибов проведем две прямые и секущую (рис.1). С помощью сгибов проведем биссектрисы накрест лежащих углов (рис.2), совместим точки А и В, вершины накрест лежащих углов. Углы совпали при наложении, значить они равны, следовательно АС BD.

2. Вывод: для того, чтобы доказать, биссектрисы накрест лежащих углов параллельны, нужно обосновать равенство накрест лежащих углов САВ и DBА.

3. Математическое обоснование:

Дано: прямые AD и BC, AB – секущая, АС и ВD – биссектрисы накрест лежащих углов.

Доказательство: АВС = АВD  САВ = DBА – накрест лежащие  АС BD.

б) 1.Оригамское решение – исследование.

С помощью сгибов проведем две прямые и секущую (рис.1). С помощью сгибов проведем биссектрисы односторонних углов (рис.2), которые пересекаются в точке Н. Согнем лист по биссектрисе АН. Точки В и С совпадут (рис.3). Следовательно, АВС – равнобедренный, а биссектриса, проведенная в равнобедренном треугольнике является высотой, т.е. АН  ВС.

2. Вывод: для того, чтобы доказать, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны, надо проверить свойство перпендикулярности прямых АН и ВС.

3. Математическое обоснование.

Дано: две прямые и секущая, АН – биссектриса ВАС, ВС – биссектриса DBA.

Доказательство: рассмотрим АВС, который является равнобедренным  АС = АВ, а АН- биссектриса и является общей стороной для АВН и АСН. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними  ВНА = СНА (смежные, а сумма смежных углов равна 180 0 )  ВНА = СНА = 90 0  биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Чтобы точка В легла на линию АВ, нужно согнуть фигуру так, чтобы точка стала принадлежать линии ЕН (нужно, чтобы линия биссектрисы данного квадрата совместилась с биссектрисой малого квадрата). Чтобы проверить равны ли прямоугольники ACEF и DGHF нужно перегнуть по линии, проведенной из точки F.

а) MN  LN, KL  NL (две прямые перпендикулярные третьей являются параллельными)  MNKL.

AD = CB, ADCB  ABCD – параллелограмм  ABCD.

Источник