Сумма элементов по модулю 2 что это значит

Сложение по модулю 2

Сложе́ние по модулю 2 («сумма по модулю 2», «не равно», исключа́ющее «ИЛИ» (ИЛИ с исключением из правила четвёртой комбинации «1,1»), XOR,) — ло­ги­чес­кая опе­ра­ция (функция), по сво­ему при­ме­не­нию мак­си­маль­но при­бли­жён­ная к грам­ма­ти­чес­кой кон­струк­ции «либо … либо …» или «если операнды не равны, то истинно (1)».

a \oplus b, a \oplus_2 b, a +_2 b, a ≠ b, a\ne b, (a,b)\oplus_2, a

Содержание

Булева алгебра

\ <0, 1\>. Результат также принадлежит множеству

\ <0, 1\>. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений

0, 1 может использоваться любая другая пара подходящих символов, например

F, T или «ложь», «истина».

Таблицы истинности:
для бинарного сложения по модулю 2
Правило (только для бинарного сложения по модулю 2): результат равен

для тернарного сложения по модулю 2

Программирование

00101001_2тоa ^ b =

Выполнение операции XOR для значений логического типа (true, false) производится в разных языках программирования по-разному. Например в Delphi используется встроенный оператор XOR (пример: condition1 xor condition2). В языке C, начиная со стандарта C99, оператор «^» над операндами логического типа возвращает результат применения операции XOR. В С++ оператор «^» для логического типа bool возвращает результат согласно описанным правилам, для остальных же типов производится его побитовое применение. Перегрузка для стандартных типов невозможна, но операцию XOR над ними можно реализовать, исходя из принципа «исключающего ИЛИ». Выглядит это так:

(при этом нет разницы, применяются ли побитовые операторы & и |, или же логические && и ||)

Связь с естественным языком

Эту операцию нередко сравнивают с дизъюнкцией потому, что они очень похожи по свойствам, и обе имеют сходство с союзом «или» в повседневной речи. Сравните правила для этих операций:

Операция \oplus исключает последний вариант («оба сразу») и по этой причине называется исключающим «ИЛИ». Операция \lor включает последний вариант («оба сразу») и по этой причине иногда называется включающим «ИЛИ». Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» может применяться в обоих случаях.

См. также

Источник

Сложение по модулю 2, что это такое?

).
То есть имеем два бинарных числа, например 1010 и 101. Сложим их по модулю два:
1010 XOR 101 = 1111

То есть согласно этому определению, нужно сложить 1010 и 101 и разделить их по модулю на 2. Понятное дело, что результатом будет 1, а никак не 1111

Так как же всё-таки сложить два числа по модулю 2? Спасибо, ко откликнется. Garry Galler не беспокоиться.

Что такое монитор и что такое мьютекс? Это же разные вещи?
Здравствуйте. В разных айти-статьях по-разному используют эти термины, причём часто их путают друг.

Как такое может быть и что это такое?
в маленьком превью одна картинка, открываешь совершенно другая (какая и должна быть) с чем это.

Что это такое и как это создается?
Здравствуйте! Как создать эти жирные ссылки, показанные на картинке?

Сложение по модулю 2 это остаток от деления на 2 получившейся суммы. Но обычно, когда складывают по модулю 2 двоичные вектора, то подразумевается поразрядное (побитовое) сложение по модулю 2, то есть отдельные разряды складываются независимо от других. В этом случае получится 1111. Какое именно сложение имеется в виду для чисел в двоичной записи, поразрядное или арифметическое, как правило, понятно из контекста.
В криптографии поразрядное сложение по модулю 2 используется гораздо чаще арифметического.

Добавлено через 2 минуты
Кстати, для поразрядного сложения операнды правильнее записывать с одинаковой длиной, то есть

ну и плюсик в кружок помещают, как в этой формуле. Но это не обязательно.

Не знаю, меня вроде так всю жизнь учили:

1 \oplus 1 = 0;
0 \oplus 1 = 1;
1 \oplus 0 = 1;» />

других операций по модулю 2 я не знаю

Добавлено через 1 час 9 минут

Источник

Сложение по модулю

Теперь что такое само сложение по модулю? Пишут «остаток от деления суммы двух чисел на значение модуля», т.е. (А+B)%2 (по модулю 2). Хорошо.

Берем десятичные числа 20 и 16.
20 = [0001 0100]
16 = [0001 0000]

Результат: 4 = [0000 0100]

А теперь через сумму:
20+16 = 36
36%2 = 0

Что я не правильно понял?) Уже пол интернета перерыл, а нормального объяснения так и не нашел.
И сложение по модулю 2^32. Также объясняют (A+B)%2^32

Многозначная логика. Сложение по модулю
Есть формула у которой нужно проверить выполняемость условия. (x->y)+ Не(y) = x&y Строю таблицу.

Выразить сложение по модулю два через штрих Шеффера
Нужна как можно более компактная формула. Например, если выражать импликацию, то можно получить x.

Как выразить сложение по модулю 2(исключающее ИЛИ) через конъюнкцию, дезъюнкцию и отрицание?
Помогите выразить сумматор по модулю 2 через 3 операции:конъюнкцию, дезъюнкцию и отрицание. Набор.

В программировании принято все логические бин. операция расширять до бин. операций над бинарными последовательностями побитово. А именно: пусть # — некая бин. операция над двумя битами, тогда можно определить операцию x[1]x[2]x[3]x[4]x[5]x[6]x[7]x[8] # y[1]y[2]y[3]y[4]y[5]y[6]y[7]y[8] = z[1]z[2]z[3]z[4]z[5]z[6]z[7]z[8], где z[k] = x[k]#y[k], причём последняя операция работает уже с байтами по 8 битов.

Например, 0&0=1&0=0&1=0, 1&1=1. Тогда 00000010 & 00000011 = 00000010.
То же касается xor.

Источник

Сложение по модулю 2

Исключа́ющее «или» (сложе́ние по мо́дулю 2, XOR, строгая дизъюнкция, поразрядное дополнение, инвертирование по маске, жегалкинское сложение, логическое вычитание, логи́ческая неравнозна́чность) — булева функция, а также логическая и битовая операция, в случае двух переменных результат выполнения операции истинен тогда и только тогда, когда один из аргументов истинен, а другой — ложен. Для функции трёх (тернарное сложение по модулю 2) и более переменных — результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов, равных 1, составляющих текущий набор, — нечётное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

Сложение по модулю 2 называется «исключающим „или“» и «строгой дизъюнкцией» для отличения от «обычного» (неисключающего) логического «или» — нестрогой логической дизъюнкции. В теории множеств сложению по модулю 2 соответствует операция симметрической разности двух множеств.

Содержание

Обозначения [ | ]

b>

Свойства [ | ]

Булева алгебра [ | ]

Программирование [ | ]

В языках C/C++, Java, C#, Ruby, PHP, JavaScript, Python и т. д. битовая операция поразрядного дополнения обозначается символом «^», в языках Паскаль, Delphi, Ada, Visual Basic — зарезервированным словом xor, в языке ассемблера — одноимённой логической командой. При этом сложение по модулю 2 выполняется для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

Выполнение операции исключающее «или» для значений логического типа (true, false) производится в разных языках программирования по-разному. Например, в Delphi используется встроенный оператор XOR (пример: условие1 xor условие2). В языке C, начиная со стандарта C99, оператор «^» над операндами логического типа возвращает результат применения логической операции XOR. В C++ оператор «^» для логического типа bool возвращает результат согласно описанным правилам, для остальных же типов производится его побитовое применение.

Связь с естественным языком [ | ]

В естественном языке операция «сложение по модулю» эквивалентна двум выражениям:

Эту операцию нередко сравнивают с дизъюнкцией потому, что они очень похожи по свойствам, и обе имеют сходство с союзом «или» в повседневной речи. Сравните правила для этих операций:

Квантовые вычисления [ | ]

В квантовых компьютерах аналог операции сложения по модулю 2 — вентиль CNOT.

Источник

Введение в модулярную арифметику

Для любой системы взаимно простых чисел p₁, … p_n, любое число X из диапазона [0; M), где M = p₁*p₂*…*p_n взаимооднозначно представимо в виде вектора (a₁, a₂, …, a_n), где a_i = X%p_i (здесь и далее «%» — операция взятия остатка от целочисленного деления X на p_i).
p₁, … p_n – модули системы
a₁, a₂, …, a_n – остатки (вычеты) числа по заданной системе модулей

Прямое преобразование

Прямое преобразование из позиционной системы счисления (обычно в двоичном виде) в систему счисления в остатках заключается в нахождении остатков от деления по каждому из модулей системы.

Пример: Пусть требуется найти представление числа X = 25 по системе модулей (3, 5, 7). X = (25%3, 25%5, 25%7) = (1, 0, 4).

Реализация нахождения вычета в микроэлектронике по заданному модулю строится на следующих свойствах вычетов:
(a+b) % p = (a%p + b%p)%p
(a*b) % p = (a%p * b%p)%p

Любое число X можно записать в виде X%p = (x_n-1*2 n-1 + x_n-2*2 n-2 + x₀*2 0 )%p = ((x_n-1)%p*2 n-1 %p) + ((x_n-2)%p*2 n-2 %p) + … + x₀%p)%p. Поскольку в данном случае x_n-1, … x₀ равны 0 или 1, то фактически нам требуется сложить вычеты вида (2 i %p).

Пример: пусть задано число 25 или в двоичной системе счисления 11001 и требуется найти остаток по модулю 7.
25%7 = (1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0* 1 + 1*2 0 )%7 = (2 4 %7 + 2 3 %7 + 1%7)%7 = (2 + 1 + 1)%7 = 4

Арифметические операции

Пример: пусть задана система модулей (3, 5, 7), то есть мы можем выполнять операции, результат которых не превышает 3*5*7 = 105. Умножим два числа 8 и 10.
8 = (8%3, 8%5, 8%7) = (2, 3, 1)
10 = (10%3, 10%5, 10%7) = (1, 0, 3)
8*10 = ((2*1)%3, (3*0)%5, (1*3)%7) = (2, 0, 3)
Проверяем
80 = (80%3, 80%5, 80%7) = (2, 0, 3)

Обратное преобразование

Способ, основанный на Китайской теореме об остатках, базируется на следующей идее:
X = (x₁, x₂, … x_n) = (x₁, 0, …, 0) + (0, x₂, …, 0) + … + (0, 0, …., x_n) = x₁*(1, 0, …, 0) + x₂*(0, 1, …, 0) + … + x_n*(0, 0, …, 1).
То есть для обратного преобразования требуется найти систему ортогональных базисов B1 = (1, 0, …, 0), B2 = (0, 1, …, 0), …, BN = (0, 0, …, 1). Эти вектора находятся один раз для заданного базиса, а для их поиска требуется решить уравнение вида: (M_i*b_i)%p_i = 1, где M_i = M/p_i, а b_i – искомое число. В этом случае позиционное представление B_i = M_i*b_i и
X = (x₁*(M₁*b₁) + x₂*(M₂*b₂) + … + x_n*(M_n*b_n))%M

Пример: пусть задана система модулей (3, 5, 7), найдем значения M_i и b_i (0 b₁ = 2
(21*b₂)%5 = 1 => b₂ = 1
(15*b₃)%7 = 1 => b₃ = 1
Теперь преобразуем какое-нибудь число в системе остаточных классов. Положим
X = (2, 3, 1) = (2*35*2 + 3*21*1 + 1*15*1)%105 = (140 + 63 + 15)%105 = 218%105 = 8

Минус этого метода заключается в том, что для обратного преобразования требуется умножение и сложение больших чисел (M₁, …, M_n), а так же операция взятия остатка по модулю большого числа M.

Источник