как вычислить чему равен синус

Таблица СИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов

СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

α (радианы)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	√3π/2	2π
α (градусы)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
SIN α (СИНУС)	0	1/2	√ 2/2	√3 /2	1	0	-1	0

Полная таблица синусов для углов от 0° до 360° с шагом всего в 1°

Угол в градусах	Sin (Синус)
0°	0
1°	0.0175
2°	0.0349
3°	0.0523
4°	0.0698
5°	0.0872
6°	0.1045
7°	0.1219
8°	0.1392
9°	0.1564
10°	0.1736
11°	0.1908
12°	0.2079
13°	0.225
14°	0.2419
15°	0.2588
16°	0.2756
17°	0.2924
18°	0.309
19°	0.3256
20°	0.342
21°	0.3584
22°	0.3746
23°	0.3907
24°	0.4067
25°	0.4226
26°	0.4384
27°	0.454
28°	0.4695
29°	0.4848
30°	0.5
31°	0.515
32°	0.5299
33°	0.5446
34°	0.5592
35°	0.5736
36°	0.5878
37°	0.6018
38°	0.6157
39°	0.6293
40°	0.6428
41°	0.6561
42°	0.6691
43°	0.682
44°	0.6947
45°	0.7071
46°	0.7193
47°	0.7314
48°	0.7431
49°	0.7547
50°	0.766
51°	0.7771
52°	0.788
53°	0.7986
54°	0.809
55°	0.8192
56°	0.829
57°	0.8387
58°	0.848
59°	0.8572
60°	0.866
61°	0.8746
62°	0.8829
63°	0.891
64°	0.8988
65°	0.9063
66°	0.9135
67°	0.9205
68°	0.9272
69°	0.9336
70°	0.9397
71°	0.9455
72°	0.9511
73°	0.9563
74°	0.9613
75°	0.9659
76°	0.9703
77°	0.9744
78°	0.9781
79°	0.9816
80°	0.9848
81°	0.9877
82°	0.9903
83°	0.9925
84°	0.9945
85°	0.9962
86°	0.9976
87°	0.9986
88°	0.9994
89°	0.9998
90°	1

Полная таблица синусов для углов от 91° до 180°

Угол в градусах	Sin (Синус)
91°	0.9998
92°	0.9994
93°	0.9986
94°	0.9976
95°	0.9962
96°	0.9945
97°	0.9925
98°	0.9903
99°	0.9877
100°	0.9848
101°	0.9816
102°	0.9781
103°	0.9744
104°	0.9703
105°	0.9659
106°	0.9613
107°	0.9563
108°	0.9511
109°	0.9455
110°	0.9397
111°	0.9336
112°	0.9272
113°	0.9205
114°	0.9135
115°	0.9063
116°	0.8988
117°	0.891
118°	0.8829
119°	0.8746
120°	0.866
121°	0.8572
122°	0.848
123°	0.8387
124°	0.829
125°	0.8192
126°	0.809
127°	0.7986
128°	0.788
129°	0.7771
130°	0.766
131°	0.7547
132°	0.7431
133°	0.7314
134°	0.7193
135°	0.7071
136°	0.6947
137°	0.682
138°	0.6691
139°	0.6561
140°	0.6428
141°	0.6293
142°	0.6157
143°	0.6018
144°	0.5878
145°	0.5736
146°	0.5592
147°	0.5446
148°	0.5299
149°	0.515
150°	0.5
151°	0.4848
152°	0.4695
153°	0.454
154°	0.4384
155°	0.4226
156°	0.4067
157°	0.3907
158°	0.3746
159°	0.3584
160°	0.342
161°	0.3256
162°	0.309
163°	0.2924
164°	0.2756
165°	0.2588
166°	0.2419
167°	0.225
168°	0.2079
169°	0.1908
170°	0.1736
171°	0.1564
172°	0.1392
173°	0.1219
174°	0.1045
175°	0.0872
176°	0.0698
177°	0.0523
178°	0.0349
179°	0.0175
180°	0

Таблица синусов для углов 181° — 270°

Угол	Sin (Синус)
181°	-0.0175
182°	-0.0349
183°	-0.0523
184°	-0.0698
185°	-0.0872
186°	-0.1045
187°	-0.1219
188°	-0.1392
189°	-0.1564
190°	-0.1736
191°	-0.1908
192°	-0.2079
193°	-0.225
194°	-0.2419
195°	-0.2588
196°	-0.2756
197°	-0.2924
198°	-0.309
199°	-0.3256
200°	-0.342
201°	-0.3584
202°	-0.3746
203°	-0.3907
204°	-0.4067
205°	-0.4226
206°	-0.4384
207°	-0.454
208°	-0.4695
209°	-0.4848
210°	-0.5
211°	-0.515
212°	-0.5299
213°	-0.5446
214°	-0.5592
215°	-0.5736
216°	-0.5878
217°	-0.6018
218°	-0.6157
219°	-0.6293
220°	-0.6428
221°	-0.6561
222°	-0.6691
223°	-0.682
224°	-0.6947
225°	-0.7071
226°	-0.7193
227°	-0.7314
228°	-0.7431
229°	-0.7547
230°	-0.766
231°	-0.7771
232°	-0.788
233°	-0.7986
234°	-0.809
235°	-0.8192
236°	-0.829
237°	-0.8387
238°	-0.848
239°	-0.8572
240°	-0.866
241°	-0.8746
242°	-0.8829
243°	-0.891
244°	-0.8988
245°	-0.9063
246°	-0.9135
247°	-0.9205
248°	-0.9272
249°	-0.9336
250°	-0.9397
251°	-0.9455
252°	-0.9511
253°	-0.9563
254°	-0.9613
255°	-0.9659
256°	-0.9703
257°	-0.9744
258°	-0.9781
259°	-0.9816
260°	-0.9848
261°	-0.9877
262°	-0.9903
263°	-0.9925
264°	-0.9945
265°	-0.9962
266°	-0.9976
267°	-0.9986
268°	-0.9994
269°	-0.9998
270°	-1

Таблица синусов для углов от 271° до 360°

Угол	Sin (Синус)
271°	-0.9998
272°	-0.9994
273°	-0.9986
274°	-0.9976
275°	-0.9962
276°	-0.9945
277°	-0.9925
278°	-0.9903
279°	-0.9877
280°	-0.9848
281°	-0.9816
282°	-0.9781
283°	-0.9744
284°	-0.9703
285°	-0.9659
286°	-0.9613
287°	-0.9563
288°	-0.9511
289°	-0.9455
290°	-0.9397
291°	-0.9336
292°	-0.9272
293°	-0.9205
294°	-0.9135
295°	-0.9063
296°	-0.8988
297°	-0.891
298°	-0.8829
299°	-0.8746
300°	-0.866
301°	-0.8572
302°	-0.848
303°	-0.8387
304°	-0.829
305°	-0.8192
306°	-0.809
307°	-0.7986
308°	-0.788
309°	-0.7771
310°	-0.766
311°	-0.7547
312°	-0.7431
313°	-0.7314
314°	-0.7193
315°	-0.7071
316°	-0.6947
317°	-0.682
318°	-0.6691
319°	-0.6561
320°	-0.6428
321°	-0.6293
322°	-0.6157
323°	-0.6018
324°	-0.5878
325°	-0.5736
326°	-0.5592
327°	-0.5446
328°	-0.5299
329°	-0.515
330°	-0.5
331°	-0.4848
332°	-0.4695
333°	-0.454
334°	-0.4384
335°	-0.4226
336°	-0.4067
337°	-0.3907
338°	-0.3746
339°	-0.3584
340°	-0.342
341°	-0.3256
342°	-0.309
343°	-0.2924
344°	-0.2756
345°	-0.2588
346°	-0.2419
347°	-0.225
348°	-0.2079
349°	-0.1908
350°	-0.1736
351°	-0.1564
352°	-0.1392
353°	-0.1219
354°	-0.1045
355°	-0.0872
356°	-0.0698
357°	-0.0523
358°	-0.0349
359°	-0.0175
360°	0

Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе.

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла.

Чему равен синус 45? …

— А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071

Источник

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Изобразим данные формулы на рисунке:

Для каждой группы соответствуют свои значения.

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Сведение к углу

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

Источник

Как посчитать синус быстро

и точно. Точнее, с заданной точностью, простите за каламбур.

Под катом я расскажу, как сделать это с использованием школьного курса алгебры и целочисленной арифметики, при чём здесь полиномы Чебышёва I-го рода, и дам ссылки на примеры реализаций для ПК и Cortex-M3.

Что же тогда делать? Увеличивать степень аппроксимации. Это позволит увеличить точность вычислений и (или) уменьшить размер таблиц. И сделать это совсем несложно.

Аппроксимация полиномами

Для примера разобьём весь период от 0 до 2π на 8 равных интервалов, и для каждого подберём такие коэффициенты A0 и A1, что бы максимум ошибки при любом аргументе был минимален (как это сделать, я расскажу ниже). Если мы построим график этого «синуса», он будет выглядеть примерно так (сплошная линия):

Штриховой линией нарисовано более точное значение синуса. А график ошибки (разницы между «настоящим» и аппроксимированным значениями будет таким:

На нём, если приглядеться, не выполняется условие «максимум ошибки при любом аргументе был минимален», но сейчас это неважно. Максимальная ошибка составляет 0.03684497.

Небольшое отступление. Числа вроде 0.03684497 или 2.448728e-09 слишком абстрактны для понимания, их трудно сравнивать. Мне, как человеку, долгое время работающему в двоичной системе, гораздо ближе биты. Поэтому к ним я и буду приводить величину ошибки, беря от неё минус логарифм по основанию 2, тогда она превращаются соответственно в 4.76 или 28.6 бит. По мне, такие логарифмические «попугаи» проще для восприятия и нагляднее. По итогам предыдущего абзаца можно сказать, что «значение синуса вычислено с точностью 4.76239 бита».

Теперь давайте разобьём один период (от 0 до 2π) не на 8, а на 64 интервала, по 16 на каждый квадрант. И рассмотрим один интервал в районе, например, 45°. График ошибки (сплошная чёрная линия) выглядит так:

Он очень похож на график параболы y = x², который нарисован там же красным штрих-пунктиром. Так же, как парабола, выглядит график полинома Чебышёва I-рода 2-й степени (более того, он ей и является). На КДПВ, он изображён голубой линией.

Красным штрих-пунктиром нарисован полином Чебышёва3-й степени, и снова оба графика очень похожи.

Здесь я открою маленький секрет. График синуса, найденный аппроксимацией функцией 2-степени по 8 интервалам, с точностью до долей пикселя совпадает с «настоящим», и, будучи нарисованными вместе, они полностью перекрывали бы друг друга. Тремя картинками выше, где нарисованы графики, сиреневым пунктиром изображён не «настоящий» синус, а полученный функцией 2-й степени.

Как сильно увеличилась точность при переходе от 1-й ко 2-й степени? Для 64 интервалов на период она возросла с 10.7 до 17.63 бит. Откуда взялись эти числа, я расскажу ниже.

Если мы дальше продолжим увеличивать степень полинома, то ошибки будут ещё меньше, и будут приобретать формы полиномов Чебышёва разных степеней:

Как считать коэффициенты

В википедии, в статье про полиномы Чебышёва есть фраза: «Многочлены Чебышёва играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышёва первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами«. Это как раз наш случай.

Посмотрим ещё раз на их графики:

A1·0.14645 + A0 = sin((N + 0.14645)/64 * 2π)
A1·0.85355 + A0 = sin((N + 0.85355)/64 * 2π)

Пройдясь по всем N, от 0 до 63, получим таблицу с наборами коэффициентов A1 и A0. С ней уже можно считать синус с точностью 10.7 бит. Как это делать, расскажу ниже (если кто до сих пор не понял сам).

Перейдём ко 2-й степени y = A2·x² + A1·x + A0. В качестве аргумента x подставим, соответственно, корни полинома 3-й степени 0.066987, 0.5 и 0.933013. Напишем систему из 3 уравнений с 3 неизвестными A2, A1 и A0:

A2·0.066987² + A1·0.066987 + A0 = sin((N + 0.066987)/64 * 2π)
A2·0.5² + A1·0.5 + A0 = sin((N + 0.5)/64 * 2π)
A2·0.933013² + A1·0.933013 + A0 = sin((N + 0.933013)/64 * 2π)

Решения для интервала N=15 будут следующие:

Для вычисления таблиц других размеров в предыдущую систему уравнений вместо 64 нужно подставить нужный размер. Для аппроксимации полиномом степени P нужно найти корни полинома Чебышёва степени P+1, и записать систему из P+1 уравнений с P+1 неизвестными, не забывая возводить корень многочлена в нужную степень ‘n’ при каждом An. (Если предыдущее предложение непонятно, то ничего страшного. Ближе к концу статьи будет ссылка на готовый генератор таблиц и краткая инструкция к нему.)

Точность вычислений

Разные комбинации размера таблицы и степени полинома дают разную погрешность. Не имея представления, как определить её аналитически, я решил считать «в лоб», перебирая все возможные комбинации, и прогоняя через каждую все углы от 0 до 0xffffffff. Для этого был создан проект accuracy_test. Суть в следующем:

в проект включены таблицы, степенью полинома от 1 до 6 и размером от 4 до 65536, всего 90 штук. Какие таблицы проверяем, указывается в аргументах при запуске. Можно указать набор или диапазон проверяемых таблиц;

с помощью заданной таблицы производится аппроксимация синуса по всем возможным 4294967296 аргументам. Результат аппроксимации сравнивается со значением, полученным стандартной функцией sinl(), получается разница-ошибка;

Результаты проверок всех 90 таблиц в конечном итоге сводятся в одну небольшую табличку, на основании которой строится диаграмма:

На ней видно, что с увеличением размера таблицы точность растёт, и тем быстрее, чем выше степень полинома, при этом не поднимаясь выше 54 бит. Это самая большая точность, которую мне удалось достичь, при этом вычисления производились на ПК, с помощью 80-битных чисел с плавающей точкой (long double). Почему я заострил внимание «на ПК», будет чуть дальше.

При использовании 32-битных целочисленных вычислений результаты скромнее:

Здесь точность не превышает 30.36 бит. Но с учётом того, что старший бит отведён под знак числа, ошибка получается менее самого младшего бита.
На этой диаграмме, как видно, присутствуютне все комбинации размера таблицы и степени полинома. Это связано с тем, что некоторые коэффициенты при малом количестве интервалов превышают 1, и при умножении на 0x7f000000 выходят за пределы знакового 32-битного числа. Компилятор предупреждает об этом, а попытки определить точность дают результат в районе 0 бит.
Максимальная точность на 32-битных целых числах, которую я получил, составляет 30.37 бит при множителе 0x7fffff00.

Несколько слов о вычислениях на ARM со встроенным АРМовским FPU (armhf)

Результаты неприятно удивили.

Результаты всех проверок сведены в несколько файлов, в каждом из них есть несколько листов:

О последнем надо сказать особо.

Сравним числа с плавающей точкой и какие точности на них достигнуты:

Куда делись 10 бит?

В свете этого можно рекомендовать использовать на ПК аппроксимацию вместо sinl, можно получить выигрыш во времени.

А куда же делись 10 бит, я так и не понял. Есть подозрение, что точность, равная разрядности мантиссы на 32- и 64-битных float получалась за счёт запаса 80-битных вычислений, результаты которых потом огрублялись до заданных 32 и 64, а без огрубления она как раз составляла те самые 54 бита. При вычислениях на ARMах с 64-битным FPU точность вычисления упала до 50.8 бита против 53 на x86/x64.

Таблицы с коэффициентами

В качестве аргументов программа принимает:

— размер таблицы, равный 2 n ;
— степень полинома;
— множитель для коэффициентов для приведения их к целочисленным значениям;
— параметр AC_SHIFT, показывающий, на сколько бит множитель при коэффициенте, например, 3-й степени будет «весомее» множителя предыдущей 2-й.

Результатом работы программы является исходный код на языке С. Программа выводит его непосредственно на экран, и его можно перенаправить в файл.

создаст файл sine_approx_64_3_3.c. Этот файл содержит таблицу коэффициентов для аппроксимации полиномами 3-й степени по 64 отрезкам, чего достаточно для получения 25-битной точности. Множитель при коэффициенте A0 = 0x40000000, а множители при коэффициентах более высоких степеней будут отличаться от соседних в 2³ = 8 раз.

В начале файла есть набор директив препроцессора, с помощью которых можно настраивать некоторые параметры таблицы:

Каждая строка полученной таблицы выглядит примерно так:

Как это использовать на практике

Для использования аппроксимации в своём проекте для начала нужно определиться, с какой точностью нужно вычислять синус. Потом нужно оценить ресурсы (объём памяти и быстродействие вычислителя), которые у вас есть.

К примеру, вы хотите, используя 32-битные целочисленные операции, сделать генератор с 24-битным ЦАП. Старший бит отведён на знак, поэтому точность аппроксимации должна быть не меньше 23 бит. На диаграмме видно, что заданная точность достигается при использовании:

— таблицы на 8192 строки при использовании аппроксимации 1-й степени,
— 512 строк при 2-й степени,
— 64 строки при 3-й степени,
— 32 при 4-й степени,
— 16 при 5-й степени, и
— 8 при 6-й степени.

При желании степень полинома можно увеличить ещё, длина таблицы при этом уменьшится.

Теперь следует определиться с ресурсами и приоритетами их использования. Если вы хотите получить максимальное быстродействие, нужно использовать аппроксимацию 1-й степени, при этом таблица на 8192 строки займёт 64к. Если вы используете какой-нибудь STM32 на Cortex-M3, то размещение таблицы в ОЗУ уменьшит время вычисления в отличии от размещения её в памяти программ, и у ST можно найти контроллеры с объёмом ОЗУ больше 64к.

Примеры использования

Что бы избавиться от лишних умножений для возведения в степень, формула
y = A2·x² + A1·x + A0
преобразована к виду
y = ((0 + A2)·x + A1)·x + A0

В упрощённом виде код выглядит так:

Cortex-M3

Проект на embitz для STM32F103C8.
Вычисления синуса полиномами от 1-й до 6-й степеней оформлены в виде ассемблерных вставок в код на С. Перед каждой вставкой в комментариях есть примерно измеренное кол-во тактов на 1 цикл вычислений, когда таблица находится во flash и когда в RAM, время получается разное. Размешение таблиц в оперативной памяти позволяет немного поднять быстродействие.
Я не считаю себя знатоком ARMовского ассемблера, возможно кому-то удасться вычисления ускорить.

Если второе число превысит 0x7fffffff, то оно блоком умножения будет интерпретировано как отрицательное и результат будет не тот, который мы ожидаем. Но инструкции, которая перемножала бы знаковое и беззнаковое число, в наборе команд нет. Мы будем использовать SMULL и позаботимся о том, что бы второе число не превышало 0x7fffffff, уменьшив его минимум в 2 раза. При этом надо будет после каждого умножения корректировать результат. Сделать это можно двумя способами:
— каждый раз удваивать результат, на что уйдут машинные такты;
— сделать в два раза больше то число, которое на него умножаем.

Вот и всё. Буду рад вашим замечаниям, уточнениям и предложениям.

Источник