а) Проведём медиану S1M треугольника SS1B, которая пересекает отрезок BB1, являющийся медианой треугольника BCD, в точке T. Тогда ВТ : ТВ1 = 4 : 5, так как T — точка пересечения медиан треугольника SS1B, а O — точка пересечения медиан треугольника BCD.
Точка L, в свою очередь, делит отрезок B1D в отношении DL : LВ1 = 4 : 5, так как LD : LC = 2 : 7, а BB1 — медиана треугольника BCD.
Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.
Проведём в треугольнике SBD через точку M среднюю линию, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём BP = DL и BM = KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP = KL, а значит, PMKL — равнобедренная трапеция.
б) Большее основание PL трапеции равно 7, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 4,5, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки M и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — ребро MN. Аналогично строим видимую прямую NP. Так как MN является линией пересечения двух плоскостей, то параллельно перенесем ее, получим невидимый отрезок Точки M и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MQ. Он невидимый, тогда соединяем точки штрихом. Получим MQPN — искомое сечение.
Из условия P — середина стороны. По построению QP параллельно MN и не равно, тогда MQPN — трапеция.
Точки P и Q середины сторон по условию и построению соответственно. Так как пирамида является правильной, в основании лежит квадрат, по условию все ребра равны, тогда грани — равносторонние треугольники. Тогда следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Пусть QH, PD — высоты трапеции. Заметим, что QP средняя линия треугольника SBC, тогда Так как Q середина стороны равностороннего треугольника, то MQ является медианой, биссектрисой и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник MQS, где По теореме Пифагора найдем
Так как трапеция равнобедренная, треугольники MQH и PDN равны, тогда а Следовательно, Рассмотрим прямоугольный треугольник MQH, в котором По теореме Пифагора найдем
Найдем площадь трапеции:
Ответ:
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Ответ:
Аналоги к заданию № 1954: 1955 Все
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки M и P лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MP, который является невидимым. Аналогично строим невидимый отрезок NP. Параллельно перенесем прямую MP, получим невидимый отрезок Точки M и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MQ. Он видимый, тогда соединяем точки сплошной линией. Получим MQNP — искомое сечение.
Из условия P, N, M — середины стороны. По построению QN параллельно MP, тогда MQNP — трапеция.
По построению точка Q середина стороны. Так как пирамида является правильной, в основании лежит квадрат, по условию все ребра равны, тогда грани — равносторонние треугольники. Заметим, что NP, QN, QM являются средними линиями треугольников SBC, SBA, ASD соответственно. Так как все треугольники равны, то Следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Пусть QH, NK — высоты трапеции. Так как трапеция равнобедренная, треугольники MQH и NKP равны, тогда а Следовательно, Рассмотрим прямоугольный треугольник MQH, в котором По теореме Пифагора найдем
Найдем площадь трапеции:
Ответ:
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Ответ:
Аналоги к заданию № 1956: 1957 Все
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки M и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — невидимый отрезок MN. Аналогично получаем ребро MP. Продлим прямую MN и проведем прямую, проходящую через точку P, до точки пересечения S. Прямая PS пересекает ребро BC в точке Q, получаем невидимый отрезок Точки N и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — невидимый отрезок NQ. Получим MNQP — искомое сечение.
Из условия N — середина стороны. Так как дана правильная треугольная призма, то в основании лежат два равных правильных треугольника. Значит, точка Q середина стороны по построению. Тогда NQ является средней линией и параллельна AC, а AC параллельна Тогда MNQP — трапеция.
Призма правильная, все ребра которой равны по условию, точка Q середина стороны по построению, тогда следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Как было сказано, NQ — средняя линия треугольника ABC, тогда Пусть QF, NH — высоты трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNA, где (так как призма правильная), По теореме Пифагора найдем
Так как трапеция равнобедренная, треугольники MNH и PFQ равны, тогда а Следовательно, Рассмотрим прямоугольный треугольник MNH, в котором По теореме Пифагора найдем
Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство* С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.
\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам ( \(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]
Определения
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Теоремы: свойства равнобедренной трапеции
1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.
Доказательство
2)
Теоремы: признаки равнобедренной трапеции
1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки M и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — ребро MN. Аналогично строим видимую прямую NP. Так как MN является линией пересечения двух плоскостей, то параллельно перенесем ее, получим невидимый отрезок Точки M и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MQ. Он невидимый, тогда соединяем точки штрихом. Получим MQPN — искомое сечение.
Из условия P — середина стороны. По построению QP параллельно MN и не равно, тогда MQPN — трапеция.
Точки P и Q середины сторон по условию и построению соответственно. Так как пирамида является правильной, в основании лежит квадрат, по условию все ребра равны, тогда грани — равносторонние треугольники. Тогда следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Пусть QH, PD — высоты трапеции. Заметим, что QP средняя линия треугольника SBC, тогда Так как Q середина стороны равностороннего треугольника, то MQ является медианой, биссектрисой и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник MQS, где По теореме Пифагора найдем
Так как трапеция равнобедренная, треугольники MQH и PDN равны, тогда а Следовательно, Рассмотрим прямоугольный треугольник MQH, в котором По теореме Пифагора найдем
Найдем площадь трапеции:
Ответ:
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Ответ:
Аналоги к заданию № 1954: 1955 Все
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки M и P лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MP, который является невидимым. Аналогично строим невидимый отрезок NP. Параллельно перенесем прямую MP, получим невидимый отрезок Точки M и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MQ. Он видимый, тогда соединяем точки сплошной линией. Получим MQNP — искомое сечение.
Из условия P, N, M — середины стороны. По построению QN параллельно MP, тогда MQNP — трапеция.
По построению точка Q середина стороны. Так как пирамида является правильной, в основании лежит квадрат, по условию все ребра равны, тогда грани — равносторонние треугольники. Заметим, что NP, QN, QM являются средними линиями треугольников SBC, SBA, ASD соответственно. Так как все треугольники равны, то Следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Пусть QH, NK — высоты трапеции. Так как трапеция равнобедренная, треугольники MQH и NKP равны, тогда а Следовательно, Рассмотрим прямоугольный треугольник MQH, в котором По теореме Пифагора найдем
Найдем площадь трапеции:
Ответ:
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Ответ:
Аналоги к заданию № 1956: 1957 Все
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки M и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — невидимый отрезок MN. Аналогично получаем ребро MP. Продлим прямую MN и проведем прямую, проходящую через точку P, до точки пересечения S. Прямая PS пересекает ребро BC в точке Q, получаем невидимый отрезок Точки N и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — невидимый отрезок NQ. Получим MNQP — искомое сечение.
Из условия N — середина стороны. Так как дана правильная треугольная призма, то в основании лежат два равных правильных треугольника. Значит, точка Q середина стороны по построению. Тогда NQ является средней линией и параллельна AC, а AC параллельна Тогда MNQP — трапеция.
Призма правильная, все ребра которой равны по условию, точка Q середина стороны по построению, тогда следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Как было сказано, NQ — средняя линия треугольника ABC, тогда Пусть QF, NH — высоты трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNA, где (так как призма правильная), По теореме Пифагора найдем
Так как трапеция равнобедренная, треугольники MNH и PFQ равны, тогда а Следовательно, Рассмотрим прямоугольный треугольник MNH, в котором По теореме Пифагора найдем
Точки M и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MQ. Он невидимый, тогда соединяем точки штрихом. Получим MQPN — искомое сечение.
следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Пусть QH, PD — высоты трапеции. Заметим, что QP средняя линия треугольника SBC, тогда 
Так как Q середина стороны равностороннего треугольника, то MQ является медианой, биссектрисой и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник MQS, где 
По теореме Пифагора найдем 
а 
Следовательно, 
Рассмотрим прямоугольный треугольник MQH, в котором 
По теореме Пифагора найдем 
Точки M и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MQ. Он видимый, тогда соединяем точки сплошной линией. Получим MQNP — искомое сечение.
Следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Пусть QH, NK — высоты трапеции. Так как трапеция равнобедренная, треугольники MQH и NKP равны, тогда 
а 
Следовательно, 
По теореме Пифагора найдем 
Тогда MNQP — трапеция.
следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Как было сказано, NQ — средняя линия треугольника ABC, тогда 
Пусть QF, NH — высоты трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNA, где 
(так как призма правильная), 
По теореме Пифагора найдем 
а 
Следовательно, 
Рассмотрим прямоугольный треугольник MNH, в котором 
По теореме Пифагора найдем 
