4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6 ;
По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:
5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.
6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.
7.Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре
AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2
Признаки ромба
1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – ромба.
Определение ромба
Ромб – это фигура на плоскости; разновидность параллелограмма, у которого все четыре стороны равны и попарно параллельны. Обычно ромб обозначается названиями его вершин (например, ABCD), а длина его стороны – строчной латинской буквой (например, a).
Примечание: квадрат является частным случаем ромба.
Свойства ромба
Свойство 1
Противоположные углы ромба равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°.
Свойство 2
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.
Свойство 3
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Свойство 4
Сторону ромба a можно найти через его диагонали d1 и d2 (согласно теореме Пифагора).
Свойство 5
В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
Радиус вписанной в ромб окружности r вычисляется по формуле:
Признаки ромба
Параллелограмм является ромбом только в том случае, если для него верно одно из следующих утверждений:
Примечание: Любой четырехугольник, стороны которого равны, является ромбом.
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 4
1.Параллелограмм
Теорема: если диагонали четырехугольника пересекаются и делятся этой точкой пересечения пополам, то такой четырехугольник называется параллелограммом.
Рис.1 Теорема. Параллелограмм.
Теорема. если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Доказательство. Пусть дан параллелограмм АВСD. (Рис. 2)
Тогда его стороны AD и BC равны и лежат на параллельных прямых а и b. Если мы проведем секущие с и d так, чтобы прямая с проходила через точку А и С, а прямая d проходила через точку B и D, то угол ОАD будет равен углу ОСВ, а угол ОDА будет равен углу ОВС, как внутренние накрест лежащие. Следовательно, треугольники АОD и ВОС равны по стороне и прилегающим к ней углам. А отсюда следует и равенство сторон этих треугольников. Т.е. АО = ОС, а ВО = ОD. Сумма этих сторон и есть диагонали параллелограмма.
Теорема. диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Рис.3 Теорема. Свойство диагоналей ромба.
Задача
В параллелограмме АВСD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Необходимо найти отрезки ВЕ и ЕС, если АВ = 9 см, АD = 14 см (рис.4)
4.Теорема Фалеса
Теорема: параллельные прямые, пересекающие стороны угла и отсекающие на одной его стороне равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Рис.5 Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника
Теорема. средняя линия треугольника, которая соединяет середины двух данных сторон, параллельна третьей его стороне и равна ее половине.
Рис.5 Теорема. Средняя линия треугольника.
6.Трапеция
Теорема. средняя линия трапеции параллельна двум своим основаниям и равна их полусумме.
Рис.6 Теорема. Средняя линия трапеции.
7.Теорема о пропорциональных отрезках
Теорема. параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки.
Доказательство. Пусть дан угол и пересекающие его параллельные прямые. Необходимо доказать, что AС 1 /AС = AВ 1 /AВ (Рис. 7).
Рис.7 Теорема о пропорциональных отрезках.
Т.е. мы пришли к противоречию, так как изначально мы взяли отрезок АС 2 = АС*АВ 1 /АВ.
Рис.8 Теорема о пропорциональных отрезках.
Пример 1
Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что ее отрезок, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. (Рис.9)
Доказательство:
Пусть ABCD данный параллелограмм. EF данный отрезок, проходящий через точку О пересечения диагоналей.
Рассмотрим треугольники COF и AOE. Сторона АО треугольника АОЕ равна стороне ОС треугольника COF по свойству параллелограмма. Угол при вершине А треугольника АОЕ равен углу при вершине С треугольника COF, как внутренние накрест лежащие углы. Углы при вершине О у обоих треугольников равны как вертикальные.
Отсюда можно сделать вывод, что треугольники АОЕ и COF равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам). Следовательно, отрезки OF и ОЕ равны.
Рис.9 Задача. Через точку пересечения диагоналей.
Пример 2
Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а его периметр равен 2,8 м. Найдите стороны параллелограмма. (Рис.10)
Решение:
Пусть ABCD данный параллелограмм. Обозначим сторону АВ как 3х, а сторону ВС как 4х. Тогда составим следующее соотношение:
Рис.10 Задача. Две стороны параллелограмма.
Пример 3
В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону AD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если периметр параллелограмма равен 4 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м. (Рис.11)
Решение:
PABCD = 2*(х + 2y) = 4, PABD = 2x +2y = 3
Рис.11 Задача. В параллелограмме ABCD перпендикуляр.
Пример 4
В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 8 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.(Рис.12)
Решение:
Отсюда следует, что FE = AD = 8-х, а BD = х.
Теперь можно составить следующее соотношение:
Периметр прямоугольника ADEF равен 16 см.
Рис.12 Задача. В прямоугольный треугольник.
Пример 5
Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.(Рис.13)
Доказательство:
Отсюда следует, что эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам). Сторона АВ = DC и внутренние накрест лежащие углы при них равны. Следовательно, АО = ОС, а ВО = OD.
Теперь рассмотрим треугольники AOD и DOC. Они также равны, но по первому признаку равенства треугольников. Сторона АО = ОС, а сторона OD у них общая. Углы при вершине О равны 90°. Т.е. по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, можно сделать вывод, что сторона AD = DC = AB = BC, т.е. данный параллелограмм является ромбом.
Рис.13 Задача. Докажите, что если у параллелограмма.
Определение 1. Ромб − это параллелограмм, у которого все стороны равны.
На рисунке 1 изображен ромб ABCD.
Определение 2. Ромб − это четырехугольник, у которого все стороны равны.
Ромб разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью ромба, а другая внешней областью ромба.
Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называют ромбом.
Свойства ромба
Поскольку ромб является параллелограммом, то имеет следующие свойства:
Ромб имеет также и следующие свойства:
Докажем свойства 6 и 7, сформулировав следующую теорему:
Теорема 1. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
Доказательство. По определению 1, \( \small AD = DC \) (Рис.2). Следовательно треугольник \( \small DAC \) равнобедренный. Тогда \( \small \angle DCO = \angle DAO. \) Учитывая, что \( \small AO = OC \) (свойство 5 ромба), получим, что треугольники \( \small DOA \) и \( \small DOC \) равны по двум сторонам и углу между ними (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда равны углы DOC и DOA. Но эти углы смежные и их сумма равна 180°. Следовательно \( \small \angle DOC= \angle DOA=90°. \) То есть диагонали AC и BD перпендикулярны.
Из равенства треугольников \( \small DOA \) и \( \small DOC \) также следует, что \( \small \angle CDO= \angle ADO,\) следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD.
Признаки ромба
Признак 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм − ромб.
Доказательство. Пусть смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть имеем: AB=BC (Рис.3). У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда DC=AB=BC=AD. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Признак 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм − ромб.
Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны (Рис.3). Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и COB. Так как у параллелограмма диагонали точкой пересечения разделяются пополам (Свойство 2 статьи Параллелограмм), то AO=OC. Тогда прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам (AO=OC, BO общий катет (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства)). Следовательно AB=BC. Тогда по признаку 1 этот параллелограмм является ромбом.
Признак 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм − ромб.
Признак 4. Если стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник − ромб.
Доказательство. Пусть у четырехугольника все стороны равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). А по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
оказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:
).
).
