Параллелограмм

На рисунке 157 изображён параллелограмм ABCD: АВ || CD, AD || ВС. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником (см. задачу 378).

Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 158). Диагональ АС разделяет его на два треугольника: АВС и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС — общая сторона, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей АС параллельных прямых АВ и CD, AD и ВС соответственно). Поэтому

AB = CD, AD = ВС и ∠B = ∠D.

Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем

Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD (рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (АВ = CD как противоположные стороны параллелограмма, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и BD соответственно). Поэтому АО = ОС и OB = OD, что и требовалось доказать.

Рисунок 160 иллюстрирует все рассмотренные свойства.

Источник

§ 2. Параллелограмм и трапеция

Параллелограмм

На рисунке 157 изображён параллелограмм ABCD: АВ || CD, AD || ВС. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником (см. задачу 378).

Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 158). Диагональ АС разделяет его на два треугольника: АВС и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС — общая сторона, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей АС параллельных прямых АВ и CD, AD и ВС соответственно). Поэтому

AB = CD, AD = ВС и ∠B = ∠D.

Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем

Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD (рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (АВ = CD как противоположные стороны параллелограмма, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и BD соответственно). Поэтому АО = ОС и OB = OD, что и требовалось доказать.

Рисунок 160 иллюстрирует все рассмотренные свойства.

Признаки параллелограмма

Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD параллельны и AB = CD (см. рис. 158).

Проведём диагональ АС, разделяющую данный четырёхугольник на два треугольника: АВС и CD А. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (АС — общая сторона, АВ = CD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС), поэтому ∠3 = ∠4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей АС, следовательно, AD || ВС.

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит, четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Проведём диагональ АС данного четырёхугольника ABCD, разделяющую его на треугольники АВС и CD А (см. рис. 158). Эти треугольники равны по трём сторонам (АС — общая сторона, AB = CD и BC = DA по условию), поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что АВ || CD. Так как AB = CD и АВ || CD, то по признаку 1 0 четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам (см. рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по первому признаку равенства треугольников (АО = ОС, BO = OD по условию, ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы), поэтому AB = CD и ∠1 = ∠2. Из равенства углов 1 и 2 следует1, что АВ || CD.

Итак, в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и параллельны, значит, по признаку 1 0 четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами (рис. 161).

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны (рис. 162, а).

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис. 162, б).

Задачи

371. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если:

a) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠D АС;
б) АВ || CD, ∠A = ∠C.

372. Периметр параллелограмма равен 48 см.

Найдите стороны параллелограмма, если:

а) одна сторона на 3 см больше другой;
б) разность двух сторон равна 7 см;
в) одна из сторон в два раза больше другой.

373. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

374. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.

375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

376. Найдите углы параллелограмм: ABCD, если:

377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как АВ || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.

379. Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

380. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

381. На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы О₁А и О₂В равны. Стержень АВ, длина которого равна расстоянию О₁О₂ между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки АВ и О₁О₂ либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD, — параллелограмм.

383. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что РВ = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

384. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Через точку С проведём прямую, параллельную прямой АВ, и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 164). Так как AM = МВ по условию, а МВ = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то AM = DC. Треугольники AMN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (AM = CD, ∠1=∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и MD), поэтому AN = NC.

385. Докажите теорему Фалеса 1 : если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые l₁, и l₂ параллельны (рис. 165, а). Тогда A₁А₂ = В₁В₂ и А₂А₃ = В₂В₃ как противоположные стороны параллелограммов А₁В₁В₂А₂ и А₂В₂В₃А₃. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то и В₁В₂ = В₂В₃. Если прямые l₁ и l₂ не параллельны, то через точку В₁ проведём прямую l, параллельную прямой l₁ (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках С и D. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то по доказанному B₁C = CB. Отсюда получаем: B₁B₂ = B₁B₃ (задача 384). Аналогично можно доказать, что В₂В₃ = В₃В₄ и т. д.

386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

387. Найдите углы В и В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠A = 36°, ∠C =117°.

388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

389. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

390. Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции.

391. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

392. Основания прямоугольной трапеции равны а и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4см, b = 7см, α = 60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если а = 10 см, b = 15 см, α = 45°.

393. Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.

в) Даны три отрезка M₁N₁, M₂N₂, M₃N₃ (рис. 166, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃. Проведём решение задачи по схеме, описанной на с. 94.

Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 166, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.

Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и BD равнялись соответственно отрезкам M₂N₂ и M₃N₃ (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно АВ (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 166, в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.

По построению АВ || CD и ВС || AD, поэтому ABCD — параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам и M₂N₂, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃, т. е. параллелограмм ABCD — искомый.

Ясно, что если по трём данным отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃ можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача имеет решение, то это решение единственно (см. п. 39).

394. Даны три точки А, B и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

395. Даны острый угол hk и два отрезка P₁Q₁ и P₂Q₂. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми АВ и DC равнялось P₁Q₁, AB = P₂Q₂ и ∠A = ∠ hk.

396. Разделите данный отрезок АВ на n равных частей.

397. Постройте равнобедренную трапецию ABCD:

а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ;
б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.

398. Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям и боковой стороне AD, перпендикулярной к основаниям.

Ответы к задачам

372. а) 10,5 см, 13,5 см; б) 8,5 см, 15,5 см; в) 8 см, 16 см.

373. 13 см, 12 см, 13 см, 12 см.

375. 56 см или 70 см.

376. a) ∠B = ∠B = 96°, ∠C = 84°; б) ∠А = ∠C = 117°30′; ∠B = ∠D= 62°30′; в) ∠A = ∠C = 71°, ∠B = ∠D =109°; г) ∠A = ∠C = 120°, ∠B = ∠D = 60°; д) ∠A = ∠C= 53°, ∠B = ∠D = 127°.

377. MN = PQ = 6 cm, NP = QM = 8cm, ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 120°.

379. Указание. Сначала доказать, что BK = DM.

386. Указание. Через середину боковой стороны провести прямую, параллельную основаниям, и воспользоваться задачей 385.

387. ∠B= 144°, ∠D = 63°. 388. Указание. а) Через один из концов меньшего основания провести прямую, параллельную боковой стороне.

389. Указание, а) Воспользоваться указанием к задаче 388, а; б) через один из концов меньшего основания провести прямую, параллельную диагонали.

390. 68°, 112°, 112°. Указание. Воспользоваться задачей 388, а.

391. Указание. Приложить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, меньшее основание одной плитки лежало на одной прямой с большим основанием другой плитки.

395. Указание. Воспользоваться задачей 284.

1 Фалес Милетский — древнегреческий учёный (ок. 625—547 гг. до н. э.).

Источник

Геометрия, 7—9 классы (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.) 2010

Страница № 101.

Учебник: Геометрия. 7—9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 20-е изд. — М.: Просвещение, 2010. — 384 с.: ил.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Параллелограмм и трапеция

Параллелограммом называется четырех-угольник, у которого противоположные сто-роны попарно параллельны._

На рисунке 157 изображен парал- А лелограмм ABCD: АВ || CD, AD || ВС. Парал- Рис. 157 лелограмм является выпуклым четырехугольником (см. задачу 378).

Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.

1°. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны._

Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 158). Диагональ АС разделяет _г его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС — общая сторона,

Zl=Z2 и Z3=Z4 как накрест лежащие D

углы при пересечении секущей АС парал- Рис. 158 лельных прямых АВ и CD, AD и ВС соответственно). Поэтому

AB = CD, AD = BC и ZB=ZD.

Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем

ZA=Z1 + Z3 = Z2 + Z4=ZC.

2°. Диагонали параллелограмма точкой пе-ресечения делятся пополам._

Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD

Учебник: Геометрия. 7—9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 20-е изд. — М.: Просвещение, 2010. — 384 с.: ил.

Источник

Параллелограмм

Определение 1. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Свойства параллелограмма

Свойство 1. В параллелограмме противоположные углы равны и противоположные стороны равны.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.2).

Диагональ AC разделяют параллелограмм на два треугольника ACB и ACD. \( \small \angle 1=\angle 2 \) поскольку эти углы накрест лежащие, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AC (см. теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично \( \small \angle 3=\angle 4 \), если рассмотреть параллельные прямые AD и BC пересеченные секущей AC. Тогда треугольники ACB и ACD равны по одной стороне и двум прилежащим углам: AC общая, \( \small \angle 1=\angle 2 \), \( \small \angle 3=\angle 4 \) (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Поэтому \( \small AB=CD, \;\; AD=BC, \;\; \angle B=\angle D. \)

Из рисунка Рис.2 имеем: \( \small \angle A=\angle 1+\angle 3, \;\; \angle C=\angle 2+\angle 4. \) Учитывая, что \( \small \angle 1=\angle 2 \) и \( \small \angle 3=\angle 4 \), получим: \( \small \angle A=\angle C. \)

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения разделяются пополам.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.3) и пусть O точка пересечения диагоналей AC и BD. \( \small \angle 1=\angle 2 \) поскольку эти углы накрест лежащие, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AC. \( \small \angle 3=\angle 4 \), если рассмотреть параллельные прямые AB и CD пересеченные секущей BD. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны: AB=CD (Свойство 1), то треугольники ABO и CDO равны по стороне и прилежашим двум углам. Тогда AO=OC и BO=OD.

Признаки параллелограмма

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть AB=CD и AB || CD. Проведем диагональ AC (Рис.4). Поскольку AB || CD, то \( \small \angle 1=\angle 2 \) как накрест лежащие углы − при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченных секущей AC. Тогда треугольники ACB и ACD равны, по двум сторонам и углу между ними. Действительно, AB=CD, AC− общая сторона \( \small \angle 1=\angle 2 \). Но тогда \( \small \angle 3=\angle 4. \) Рассмотрим прямые AD и BC, пересеченные секущей AC. Поскольку \( \small \angle 3 \) и \( \small \angle 4 \) являются накрест лежашими углами, то по теореме 1 статьи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых, эти прямые параллельны. Таким образом, в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD, AD || BC) и, значит, данный четырехугольник параллелограмм.

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.4). Проведем диагональ AC (Рис.4). Рассмотрим треугольники ACB и ACD. Эти треугольники равны по трем сторонам (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Действительно. AC − общая для этих треугольников и по условию AB = CD, AD = BC. Тогда \( \small \angle 1=\angle 2 \). Отсюда следует AB || CD. Имеем, AB = CD, AB || CD и по признаку 1 четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения разделяются пополам, то данный четырехугольник − параллелограмм.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD (Рис.5). Пусть диагонали четырехугольника пересекаются в точке O и точкой пересечения делятся пополам:

Углы AOB и COD вертикальные, следовательно \( \small \angle AOB=\angle COD \). Тогда треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу меду ними:

,

Тогда AB = CD и \( \small \angle 1=\angle 2 \). Но по признаку параллельности прямых следует, что AB || CD (теорема 1 статьи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых). Получили:

и, по признаку 1 четырехугольник ABCD − параллелограмм.

Источник

Урок «Четырёхугольники. Решение задач»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Фигура, изображенная на рисунке 3, не является многоугольником, так как несмежные отрезки С1С5 и С2С3 (а также С3С4 и С1С5) имеют общую точку.
С1
С5
С4
С3
С2
Рис. 3

Описание слайда:

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника.
На рисунке 4 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.
Рис. 4

Описание слайда:

Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
На рисунке 5 многоугольник F1 является выпуклым, а многоугольник F2 — невыпуклым. Рассмотрим выпуклый n-угольник, изображенный на рисунке 6, а. Углы АпА1А2, A1A2A3, …, An-1AnA1 называются углами этого многоугольника. Найдем их сумму.
F1
F2
Рис. 5
A1
An
An-1
A3
A2
Рис. 6 (a)

Описание слайда:

Описание слайда:

Четырёхугольник
Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 7). Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 156, а изображен выпуклый четырехугольник, а на рисунке 7, б — невыпуклый.
Каждая диагональ выпуклого четырехугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырехугольника также разделяет его на два треугольника (см. рис. 7, б).
Так как сумма углов выпуклого n-угольника равна (n—2) • 180°, то сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
Рис. 7
а)
б)
A1
A2
A3
A4
A1
A2
A3
A4

Описание слайда:

Параллелограмм
Определение
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
На рис. 8 изображен параллелограмм ABCD: AB||CD, AD||ВС. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.
Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.
1°. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 9). Диагональ АС разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС — общая сторона, ے1=ے2 и ے3=ے4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей АС параллельных прямых АВ и CD, AD и ВС соответственно). Поэтому AB = CD, AD = BC и ےB=ےD. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем ےA= ے1 + ے3 = ے2 + ے4= ےC.
A
B
C
D
A
B
C
D
Рис. 8
Рис. 9
1
3
2
4

Описание слайда:

2°. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD (рис. 10). Треугольники АОВ и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB = CD как противоположные стороны параллелограмма, L1=L2 и L3=L4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и BD соответственно). Поэтому АО=ОС и OB = OD, что и требовалось доказать.
Рисунок 11 иллюстрирует все рассмотренные свойства.
A
B
C
D
O
1
2
4
3
Рис. 10
Рис. 11

Описание слайда:

Признаки параллелограмма
Рассмотрим три признака парал­лелограмма.
1°. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник—параллелограмм.
Пусть в четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD параллельны и AB = CD (см. рис. 12).
Проведем диагональ АС, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (АО — общая сторона, AB=CD по условию, ے1=ے2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС), поэтому ے3=ے4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей АС, следовательно, AD||ВС.
Таким образом, в четырехуголь­нике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм.
A
B
C
D
Рис. 12
1
3
4
2

Описание слайда:

2°. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Проведем диагональ АС данного четырехугольника ABCD, разделяющую его на треугольники ABC и CDA (см. рис. 13). Эти треугольники равны по трем сторонам (АС — общая сторона, AB = CD и BC=DA по условию), поэтому L1 =L2. Отсюда следует, что АВ||CD. Так как AB = CD и AB||CD, то по признаку 1° четырехугольник ABCD — параллелограмм.
3°. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся
пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам (см. рис. 14). Треугольники АОВ и COD равны по первому признаку равенства треугольников (АО = ОС, BO = OD по условию, ےAOB = ےCOD как вертикальные углы, поэтому АВ = CD и ےl = ے2. Из равенства углов 1 и 2 следует, что АВ || CD.
Итак, в четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и параллельны, значит, по признаку 1° четырехугольник ABCD — параллелограмм.
A
B
C
D
Рис. 13
A
B
C
D
O
1
2
4
3
Рис. 14
1
3
2
4

Описание слайда:

Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами (рис. 15).
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны (рис. 16, а). Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис. 16, б).
Равнобедренная трапеция
а)
Прямоугольная трапеция
б)
Рис. 16
Основание
Боковая сторона
Основание
Боковая сторона
Рис. 16

Описание слайда:

Описание слайда:

Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Рассмотрим особое свойство прямоугольника.
Диагонали прямоугольника равны.
Действительно, обратимся к рисунку 18, на котором изображен прямоугольник ABCD с диагоналями АС и BD. Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны по двум катетам (CD=BA, AD — общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т.е. AC = BD, что и требовалось доказать.
A
B
C
D
Рис. 18

Описание слайда:

обратное утверждение (признак прямоугольника).
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
A
B
C
D
Рис. 19

Описание слайда:

Ромб и квадрат
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Рассмотрим особое свойство ромба.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Рассмотрим ромб ABCD (рис. 20). Требуется доказать, что AC┴BD и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. Докажем, например, что ےBAC=ےDAC.

По определению ромба AB=AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Так как ромб — параллелограмм, то его диагонали точкой О пересечения делятся пополам. Следовательно, АО — медиана равнобедренного треугольника BAD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому AC┴BD и ےBAC=ےDAC, что и требовалось доказать.
A
B
C
D
O
Рис. 20

Описание слайда:

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т. е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Сформулируем основные свойства квадрата.
Все углы квадрата прямые (рис. 21, а).
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам (рис. 21, б).
а)
б)
Свойства квадрата. Рис. 21

Источник