как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность
Около четырехугольника можно описать окружность
Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)
Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Дано: ABCD вписан в окр. (O; R)
∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.
∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.
Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то
Что и требовалось доказать.
Теорема (признак вписанного четырёхугольника)
Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.
Дано: ABCD — четырёхугольник,
Доказать: ABCD можно вписать в окружность
Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.
Доказательство будем вести методом от противного.
Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.
Пусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.
В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.
По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.
Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.
Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то
∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.
Предположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.
Луч AD пересекает окружность в точке E.
Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.
По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.
Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,
∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.
Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
Что и требовалось доказать.
На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.
Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)
Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.
Описанная окружность
Теорема
| Около любого треугольника можно описать окружность. |
Доказательство
Дано: произвольный 
АВС.
Доказать: около АВС можно описать окружность.
Доказательство:
1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).
Точка О равноудалена от вершин АВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около АВС. Теорема доказана.
Замечание 1
| Около треугольника можно описать только одну окружность. |
Доказательство
Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.
Замечание 2
| Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. |
Доказательство
Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.
Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).
Верно и обратное утверждение:
Доказательство
Доказать: около АВСD можно описать окружность.
Доказательство:
Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.
Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).
BАD — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле BАD = 
ВЕD, тогда BАD + BСD
(ВЕD + ВАD).
Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).
Подставим (3) и (4) в (2), получим:
Примечание:
Окружность всегда можно описать:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Четырехугольник, вписанный в окружность
Рассмотрим, что такое четырехугольник, вписанный в окружность и около какого четырехугольника можно описать окружность.
Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все вершины четырехугольника лежат на окружности.
Четырехугольник ABCD — вписанный в окружность.
Все его вершины — точки A, B, C, D — лежат на окружности.
1) Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180º.
2) Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180º, то этот четырехугольник можно вписать в окружность.
вписанный в окружность.
1) Из всех параллелограммов вписать в окружность можно только прямоугольник (в том числе, в квадрат).
Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.
Радиус описанной около прямоугольника окружности равен половине его диагонали.
Через стороны прямоугольника радиус описанной окружности равен
Если стороны прямоугольника обозначить как a и b, то
2) Из всех трапеций вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию.
Радиус описанной около трапеции окружности можно найти как радиус окружности, описанной около одного из треугольников — вершин трапеции:
Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Теорема 1 доказана.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
| Фигура | Рисунок | Свойство | ||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около параллелограмма |  | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | ||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около ромба |  | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около трапеции |  | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около дельтоида |  | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||||||||||||||||||||||||||||
| Произвольный вписанный четырёхугольник |  | |||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около параллелограмма | ||
| Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |
| Окружность, описанная около ромба | ||
| Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |
| Окружность, описанная около трапеции | ||
| Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |
| Окружность, описанная около дельтоида | ||
| Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |
| Произвольный вписанный четырёхугольник | ||
| ||
| Окружность, описанная около ромба | ||
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||
| Окружность, описанная около трапеции | ||
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||
| Окружность, описанная около дельтоида | ||
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||
| Произвольный вписанный четырёхугольник | ||
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
Теорема Птолемея
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
откуда вытекает равенство:
| ||
