как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Около четырехугольника можно описать окружность

Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)

Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьДано: ABCD вписан в окр. (O; R)

∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.

∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Что и требовалось доказать.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

Доказать: ABCD можно вписать в окружность

Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.

Доказательство будем вести методом от противного.

Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьПусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.

В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.

Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то

∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьПредположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.

Луч AD пересекает окружность в точке E.

Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.

Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,

∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.

Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Что и требовалось доказать.

На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.

Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.

Источник

Описанная окружность

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьАВС.

Доказать: около как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Точка О равноудалена от вершин как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Верно и обратное утверждение:

Доказательство

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьBАD = как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностькак доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьВЕD, тогда как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьBАD + как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьBСDкак доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностькак доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность(как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьВЕD + как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьВАD).

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Четырехугольник, вписанный в окружность

Рассмотрим, что такое четырехугольник, вписанный в окружность и около какого четырехугольника можно описать окружность.

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все вершины четырехугольника лежат на окружности.

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Четырехугольник ABCD — вписанный в окружность.

Все его вершины — точки A, B, C, D — лежат на окружности.

1) Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180º.

2) Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180º, то этот четырехугольник можно вписать в окружность.

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

вписанный в окружность.

1) Из всех параллелограммов вписать в окружность можно только прямоугольник (в том числе, в квадрат).

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьЦентр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.

Радиус описанной около прямоугольника окружности равен половине его диагонали.

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Через стороны прямоугольника радиус описанной окружности равен

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Если стороны прямоугольника обозначить как a и b, то

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

2) Из всех трапеций вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию.

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьРадиус описанной около трапеции окружности можно найти как радиус окружности, описанной около одного из треугольников — вершин трапеции:

Источник

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Теорема 1 доказана.

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммакак доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбакак доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапециикак доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидакак доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольниккак доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около параллелограмма
как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность
Окружность, описанная около ромба
как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции
как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида
как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник
как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Теорема Птолемея

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Докажем, что справедливо равенство:

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность

откуда вытекает равенство:

как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Смотреть картинку как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Картинка про как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность. Фото как доказать что вокруг четырехугольника можно описать окружность(1)

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *