как доказать что точки лежат на одной окружности
Как доказать, что четыре точки лежат на одной окружности?
Приятного изучения! Если хочешь подготовиться к профилю на 80+ с его автором, жми сюда и посмотри, что мы для тебя приготовили!
В экзамене можно встретить формулировки заданий, в которых вас попросят доказать, что какие-то точки должны лежать на одной окружности.
Бояться такого задания не стоит. Несмотря на то, что звучит подобное задание как минимум странно, доказательство подобного не вызовет у вас особых трудностей, если вы просто будете понимать, как это можно сделать.
Всего можно выделить несколько основных способов сделать это.
1) Доказать, что, соединив 4 точки, вы получите четырехугольник, около которого можно описать окружность.
Для этого достаточно доказать, что противоположные углы в данном четырехугольнике в сумме дают 180 градусов. Подробнее о том, почему это работает именно так, можно прочитать в этой статье.
1*) Доказать, что полученный четырехугольник является равнобедренной трапецией.
Дело в том, что в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Тогда мы также можем вспомнить, что односторонние углы (фиолетовый и синий) в сумме дают 180 градусов. Отсюда будет следовать, что противоположные углы в сумме тоже дают 180 градусов, а значит около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Также верно и то, что если около трапеции можно описать окружность, то она обязательно будет равнобедренной (попробуйте доказать это самостоятельно).
2) Равные углы должны опираться на одну сторону.
Без рисунков тут не обойтись. Дальше рассмотрим каждый этап по отдельности.
Здесь необходимо воссоздать картину, когда два вписанных угла, опирающихся на одну хорду (дугу), равны. Это происходит в окружности. Поэтому и появляется окружность 😂
Использование данного факта можно встретить в задачах на пересечение двух высот треугольника. Подробнее об этом рассказывали здесь.
3) Ну и куда без ситуации, в которой мы точно знаем, что наши 4 точки находятся на одинаковом расстоянии от какого-то одно центра.
В этом случае мы просто говорим, что данные равные отрезки можно принять за радиусы одной и той же окружности и сказать, что там формируется окружность по определению. Про основы окружности написано туть.
Но во второй части этот вариант встречается не так часто, как описанные выше способы.
Ну вот и все. Теперь вы будете понимать, ЧТО ИМЕННО от вас хотят, когда просят доказать, что 4 точки лежат на одной окружности, а значит вы с большей вероятностью справитесь с подобным заданием!
Как доказать что точки лежат на одной окружности
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 24, CH = 7.
а) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K — на катете AC. Проведём отрезок KE и заметим, что он является гипотенузой прямоугольного треугольника KCE, равного треугольнику CHE, подобного треугольнику ABC.
Рассмотрим углы четырёхугольника ABEK. Если ∠ABE = α, то
а 
Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180°, следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.
б) Радиус окружности, проходящей через точки A, B и E, найдем по теореме синусов:
Из подобия треугольников CEH и ABC находим
откуда 
Следовательно, искомый радиус
Приведем решение п. б) присланное пользователем сайта.
Продолжим отрезок КН за точку Н и точку его пересечения окружностью назовем Р. Очевидно, 
следовательно, 
Заметим, что 
как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Значит, 
то есть 
— прямой. Таким образом, 
и CHPB — параллелограмм, в котором BP = CH = 7, а AP диаметр окружности. Найдем его из прямоугольного треугольника ABP:
Следовательно, искомый радиус 
Ответ : 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | |
|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учениковГИА. Модуль Геометрия. Четыре точки лежат на одной окружности (1.10.2013) В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности. Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 27697
Комментарии к этой задаче: Комментарий добавил(а): светлана конечно,красиво,но длинно, трудно и ученикам почти не доступно! Комментарий добавил(а): Тамара Александровна Рыскина Комментарий добавил(а): Елена Опять развлекаются взрослые люди, а задача для кого? Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш Елена, задача для думающих людей. Среди учеников таких много. Кто думать не хочет, за такие задачи и не берётся. Зачем? Комментарий добавил(а): Татьяна Васильевна Все понятно. Отлично! Комментарий добавил(а): Майя Комментарий добавил(а): Лексей Эта задача из ГИА 9 класса. Это очень сложная задача для 9 класса. Кризис образования! Комментарий добавил(а): Денис Комментарий добавил(а): Александр Для школьников будет не понятно,а так все нормально Комментарий добавил(а): Алла Ольга, Вы умница! Нигде и никогда не пропускаю ни одного Вашего слова. Комментарий добавил(а): надежда Комментарий добавил(а): Валентина Метод вспомогательной окружности. 9-й классРазделы: Математика Класс: 9 Один мудрец сказал “ Высшее проявление духа – это разум, Высшее проявление разума – это геометрия, Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”. Рассмотрим один из основных геометрических методов решения задач – метод вспомогательной окружности. Предлагаю набор задач, который поможет понять и разобраться в этом методе. При решении некоторых задач может оказаться полезной следующая теорема. Т.1 Если для четырех точек плоскости А, В, М, К выполняется одно из следующих условий: Т1 и Т2 и свойства вписанных углов позволяют решать некоторые интересные геометрические задачи с помощью метода, который называют методом вспомогательной окружности. Суть метода проиллюстрируем на решении следующих задач. В треугольнике АВС проведена высота СК. Найти длину отрезка, соединяющего точку К с серединой АС, если АС = 10см. Следовательно, АО = ОВ = КО = r = 5 см. (рис. 3)
В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.
В окружности проведены параллельные хорды АВ, FC, ED известно, что AD ∩ CE = M, BE ∩FD = N доказать, что МN ║ АВ.
|
