как доказать что функция периодическая

cos=1

=2 π n, n € Z

T=, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число

f(x+)=sin(1,5x+4 π )+5cos(0,75x+2 π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит – основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т= π n, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число π n является периодом

рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin| π n+x|=sin|x|

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)=

Пусть Т – период f, тогда

, отсюда sinT=0, Т= π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2 π n будет периодом

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Значит, функция f не периодическая.

Задания для группы 1.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 3.

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

VII. Домашнее задание1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)ИсточникУроки математики и физики для школьников и родителейсуббота, 4 сентября 2021 г.Урок 5. Периодичность тригонометрических функцийИз этого определения сразу следует, что если Т – период функции– также периоды функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом .График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.у = х – [х] , где [х] – целая часть числа. Если к произвольному значение аргумента этой функции добавить1, то значение функции от этого не изменится :Следовательно, при любом значениихsin (α + 360 ° ) = sin αТаким образом, функции sin α и cos α от прибавления к аргументу α одного полного оборота ( 2π или 360 ° ) не меняют своих значений.где k – любое целое число.Следовательно, функции sin α и cos α – периодические.Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.В самом деле, пусть α – произвольный угол, составленный с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности.отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:где k – любое целое число.вычисляются по формулеравен наименьшему числу, при делении которого на T ₁ и T ₂ получаются целые числа.Найти период функциине существует, так как такого числа, при делении которого на2πи на2получались бы целые числа, нет.Периода не существует.Доказать следующее утверждение :Так как тангенс – периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 180 ° , то получим :Доказать следующее утверждение :Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом 2π, то получим :сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.Доказать следующее утверждение :Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 360 ° , то получим :Найти основной период функцииПустьТосновной период функции, тогда:так как2πkпериод синуса, то получим :sin (7х + 7 t ) = sin (7х + 2 πk ),Найти основной период функцииПустьТосновной период функции, тогда:со s 0,3х = со s 0,3(х + t ) = со s (0,3х + 0,3 t )так как2πkпериод косинуса, то получим :Найти период функции :y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3х.Наименьшее число, при делении которого наНайти период функции :Находим периоды слагаемых. Период функцииОчевидно, что период заданной функции равенНайти период функции :Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на2и наπодновременно получались бы целые числа.Найти период функции :Приведём к общему знаменателю периоды :Тогда наименьшее общее кратное (НОК) будет :Теперь найдём период заданной функции :ИсточникПериодическая функцияПериодическая функция — это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого числа T (отличного от нуля).Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из области определения этой функции выполняются равенства:Число T называют периодом функции y=f(x).Из определения следует, что значения x-T и x+T также входят в область определения функции y=f(x).Свойства периодических функций1) По определению периодической функции для любого x из области определения y=f(x) если T — период функции, то f(x-T)= f(x)=f(x+T).2) Для любого x из области определения y=f(x) если T₁ — период функции, тоТак как T₂ также является периодом функции y=f(x), то для аргумента x-T₁Следовательно, число T₁+T₂ является периодом функции y=f(x).3) Это свойство непосредственно вытекает из свойства 2, если T взять в качестве слагаемого n раз.4) Если T — период функции f(x), то для аргумента kx+bЗначит число T/k — период функции f(kx+b).5) Эти свойства следуют непосредственно из определения.Например, для суммы f(x) и g(x):Из свойства 3 следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.Если среди всех периодов функции y=f(x) существует наименьший положительный период, то его называютглавным (или основным) периодом функции.Примеры периодических функций1) Поскольку для любого x выполняются равенствато функции y=sin x и y=cos x являются периодическими с периодом T=2π.2) Так как для любого x из области определения функции y=tg x выполняется равенствоtg (x-π)=tg x =tg (x-π), то y=tg x — периодическая функция с периодом T=π.Аналогично, y=ctg x — периодическая функция с периодом T=π.3) Так как для любого действительного числа x и любого рационального числа k выполняется равенство D(x+k)=D(x), то функция Дирихле D(x) — периодическая с периодом T=k, где k∈Q, k≠0.Поскольку k — любое рациональное число, невозможно его указать наименьшее положительное значение. Следовательно, функция Дирихле не имеет главного периода.4) Рассмотрим частный случай линейной функции y=b, b — действительное число (b∈R). Эта функция определена на множестве действительных чисел и при любых значениях аргумента принимает единственное значение y=b, то есть для любого действительного числа m (m∈R), y(x)=y(x+m)=b.Значит y=b — периодическая функция с периодом T=m, где m∈R, m≠0.Так как m — любое действительное число, оно не имеет наименьшего положительного значения. Поэтому функция y=b не имеет главного периода.5) Так как для любого действительного x и любого целого k выполняется равенство <x+k>=, то функция дробной части числа y= — периодическая с периодом T=k, где k∈Ζ, k≠0.Наименьшим положительным целым числом является единица. Следовательно, T=1 — главный период функции y=.Главный период функций y=sin x и y=cos x T=2π.Главный период функций y=tg x и y=ctg x T=π.Если T — период функции y=sin x, то sin (x-2π)=sin x = sin (x-2π) для любого x.То есть любой период функции y=sin x имеет вид 2πn, n∈Z.Наименьшее положительное значение это выражение принимает при n=1 и оно равно T=2π.Таким образом, 2π — главный период функции y=sin x.Аналогично доказываются утверждения о главном периоде функций y=cos x, y=tg x и y=ctg x.Из 4-го свойства периодических функций непосредственно следует, что для функций y=sin (kx+b) и y=cos (kx+b) (k≠0) наименьший положительный периода для функций y=tg (kx+b) и y=ctg (kx+b) (k≠0) наименьший положительный периодГрафик периодической функции повторяется через промежутки длиной T (на оси Ox).Дана часть графикапромежутке длиной T.Чтобы построить график функции, выполняем параллельный перенос этой части графика вдоль оси Ox на ±T, ±2T,… :ИсточникПериодические функцииС периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.Дадим определение периодической функции:Например, — периодические функции.Для функций и периодНо не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выраженияГрафик функции может выглядеть, например, вот так:Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.2. График четной периодической функции совпадает с графиком функциина отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).Построим график функции приПоскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.3. Найдите наименьший положительный период функцииНаименьший положительный период функции равенГрафик функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции4. Период функции равен 12, а период функции равен